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1、高二数学高二数学直线和平面平行直线和平面平行人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 直线和平面平行 1 直线与平面的位置关系 位置关系图 示表示方法公共点个数 直线在平面内 a a 无数个 直线与平面 平行 a a 没有 直线与 平面斜 交 a a A一个 直 线 不 在 平 面 内 直 线 与 平 面 相 交 直线与 平面垂 直 a a 一个 2 直线与平面平行 定义 一条直线与一个平面没有公共点就说这条直线与这个平面平行 即如果 与 a 没有公共点 则 a a 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行那麽这条直线和这个平面平行 直线和平面平行
2、的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线 就和交线平行 二 重点 难点 重点 1 直线和平面的三种位置关系 并能按照直线和平面公共点的个数或直线是否在平面内 进行分类 b b c c a a A A 2 直线和平面平行的判定和性质以及判定和性质的应用 难点 直线和平面平行的判定和性质的应用 典型例题典型例题 例 1 已知三个平面两两相交 有三条交线 判断这三条交线的位置关系 并予以证明 分析与简证 分析与简证 判断这三条交线的位置关系应具有一定的空间想象能力和逻辑推理能力 然后利用平面的基本性质和线面平行的判定定理和性质定理加以证明 设这三个平面为
3、 且 c b A 因为 b 与 c 共面于 所以 b 与 c 相交于一点或互相平行 1 若 b 与 c 相交于点 P 易证 P 必在 与 的交线 a 上 即 a b c 相交于一点 故 a b C 例 2 求证 如果两条平行线中的一条和一个平面相交 那么另一条也和这个平面相交 已知 a b a 平面 A 求证 b 和平面 相交 a 平面 这与 a 平面 A 矛盾 2 如果 b 平面 a b a 和 b 确定一个平面 显然 平面 与平面 相交 设交线为 c b 平面 b c a 平面 这与 a 平面 A 矛盾 b 平面 也不能成立 由 1 和 2 可知 b 与平面 相交 说明 直线与平面的位置关
4、系 应是 否一得余 所以 否定 直线 b 和平面 相交 应得 b 平面 或 b 平面 例 3 如果一条直线和两个相交的平面都平行 那么这条直线与这两个平面的交线平行 已知 直线 a 平面 M 直线 a 平面 N 平面 M 平面 N b 如下图所示 求证 a b 分析分析 1 证明几何题的一般思路是 由求证想判定 即 由题的 终结 回想证 明它有什么样的方法 由已知想性质 即 由题设条件 回想由 题设 能推什么样的性 质 两头向中间推想 让其汇合于中间 使问题得证 在证明线与面 线与线及线与面的 位置关系时 应从 看到结论想判定定理 看到条件想性质定理 去分析题意和寻求证明 思路 2 在本题中
5、要证明 a b 因为 b 是平面 M 和 N 的交线 所以首先应将 a 平移到 平面 M 和 N 内 直线和平面平行的性质定理可担当此任 使其与直线 b 发生联系 证明 1 经过 a 任作两个平面 P 和 Q 和平面 M 和 N 分别相交于直线 c 和 d 如图 a 平面 M a 平面 N a c a d 直线与平面平行的性质定理 c d a c a b 证明 2 经过 a 任作平面 P Q 和平面 M N 分别相交于直线 c d a 平面 M a 平面 N a c a d c d c d 可确定平面 且平面 与平面 M N 的交线互相平行 三个平面 M N 和 两两相交 交线分别为 b c
6、d 且 c d b c d 又 a c d a b 证明 3 在交线 b 上任取一点 A 则 a 平面 M a 平面 N 可知 Aa 点 A 和直线 a 可确定一个平面 设平面 平面 M b 平面 平面 N b 由直线和平面平行的性质定理可知 a b a b b b 即 b 与 b 重合于 b a b 说明说明 证明直线与直线平行 有下列方法 2 若 a b c 且 a b 则 a b c 3 若 a b b c 则 a c 疑难解析疑难解析 1 直线与平面平行的判定定理是研究线与面 面与面位置关系的基础 它反映了直线与 平面的内在联系 正确地理解掌握它 可以帮助我们建立空间概念 形成空间想象
7、能力 学会把空间问题转化成平面问题 掌握 直线与直线 和 直线与平面 位置关系的相互 转化 这个定理中容易忽视的条件是 线线平行的两条直线 一条直线在平面外 一条直 线在平面内 这个条件的遗漏往往会导致发生判断错误 至此 我们判断或证明一条直线与一个平面平行 就有了两个工具 一个是线面平行 的定义 即用直线和平面没有公共点来判断直线和平面平行 另一个就是用直线与平面平 行的判定定理 使用后者更方便 2 关于直线与平面平行的性质定理 要从下面两点去理解 1 一条直线 b 和一个平面 平行 则过 b 的任何平面与 的交线都与直线 b 平行 即 b 可以和 上无数条直线平行 2 一条直线 b 和一个
8、平面 平行 则 b 不能与 上所有的直线平行 在平面 内 除了与 b 平行的直线外 其余每一条直线与 b 都是异面直线 直线和平面平行的判定定理与性质定理的过渡 实质上是 线线平行 与 线面平行 的相互转化过程 即 模拟试题模拟试题 1 正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面互相垂直 点 M N 分别在对角线 AC 和 BF 上 且 AM FN 求证 MN 平面 BEC 2 如果一条直线与一个平面平行那麽过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这 个平面内 3 已知 直线 a 和点 A 都在平面 内 直线 AB 直线 a 求证 直线 AB 在平面 内 4 用平行于四面体 ABCD 一
9、组对棱 AC 和 BD 的平面截此四面体得一四边形 MNOQ 如图 1 求证 MNPQ 是平行四边形 2 若 AC BD 能截得菱形吗 如何截 3 在什么情况下 可以截得一个矩形 4 在什么情况下 能截得一个正方形吗 如何截 5 若 AC BD a 求证平行四边形 MNPQ 的周长一定 6 若 AC a BD b AC 与 BD 所成的角为 求平行四边形 MNP 面积的最大 值 此时该如何截取 试题答案试题答案 1 分析 分析 证线面平行 线线平行 需找出面 BEC 中与 MN 平行的直线 证明 一 证明 一 作 NK AB 交 BE 于 K 作 MH AB 交 BC 于 H MH NK AB
10、CD 与 ABEF 是两个有公共边 AB 的正方形 它们是全等正方形 AM FN CM BN 又 HCM KBN HMC KNB HCM KBN MH NK MHKN 是平行四边形 MN HK HK 平面 BEC MN 平面 BEC MN 平面 BEC 证明 二 证明 二 分析 利用面面平行 线面平行 过 N 作 NP BE 连 MP NP AF FN FB AP AB AM FN AC BF FN FB AM AC AP AB AM AC MP BC 平面 MNP 平面 BCE MN 平面 BCE 解题中经常需要作互相平行的直线 为了使作直线的位置符合要求 构造成平行四边 形 利用平行四边形
11、对边这一关系是作平行线的依据之一 2 已知 a A A b 且 a b 求证 b 证明 证明 假设 b 过 A 点和 a 确定平面为 A b1 a b1 b1 A b1 a a b1 由 a b 而 b b1 都过点 A 这样 在平面 内过 A 有两条直线 b 和 b1 都平行于 a 这是不可能的 b 3 证明 证明 假设 AB 不在平面 内 A AB 平面 A 直线 AB 与直线 a 异面 这与直线 AB 直线 a 矛盾 假设直线 AB 不在平面 内 是错误的 直线 AB 在平面 内 4 解 解 1 AC 平面 MNPQ 且平面 ADC 平面 MNPQ PQ 且 AC PQ 同理可证 AC
12、MN BD MQ BD NP PQ MN MQ NP 四边形 MNPQ 为一平行四边形 PQ AC DQ DA n m n 其中 AC a 在 AC BD 时 若 m n 即 AQ QD 则 MQ PQ 即 MNPQ 为菱形 另解另解 若 AC BD 由三角中位线定理可知 当 Q 为 AD 的中点时 四边形 MNPQ 为菱形 数形结合法 3 显然 当 AC BD 时 MN NP 即 四边形 MNPQ 为矩形 4 由 2 和 3 可知 当 AC BD 且 AC BD 且 Q 为 AD 的中点时 四边 形 MNPQ 为一正方形 5 设 MQ x PQ y Q 为 AD 上一点 且 AQ QD m n AMQ ABD 即 当 AC BD a 时 平行四边形 MNPQ 的周长为定值 2a 6 设 MQ x PQ y AQ QD m n 则 又 AC a BD b 又 AC 与 BD 所成的角为 平行四边形 MNPQ 的一组锐角 或直角 为 又 m n 2 0 m2 n2 2mn 当且仅当 m n 时 取等号 当且仅当mn 即 Q 为 AD 为中点时 SMNPQ有最大值 1 4 bsin
