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1、高二数学圆锥曲线复习苏教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 圆锥曲线复习 二 教学目标 1 通过小结与复习 能较准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系 奎屯 王新敞 新疆 2 通过本节教学能较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧 尤其是解析几何的基本方 法 坐标法 本周知识要点 一 知识归纳 名名 称称椭圆椭圆双曲线双曲线 图图 象象 x O y x O y 定定 义义 平面内到两定点的距离的和为 21 F F 常数 大于 的动点的轨迹叫椭 21F F 圆 奎屯 王新敞 新疆即 aMFMF2 21 当 2 2时 轨迹是椭圆 ac 当 2 2时 轨迹是一条线段ac 21F
2、F 当 2 2时 轨迹不存在ac 平面内到两定点的距离的差的 21 F F 绝对值为常数 小于 的动点的 21F F 轨迹叫双曲线 奎屯 王新敞 新疆即 12 2MFMFa 当 2 2时 轨迹是双曲线ac 当 2 2时 轨迹是两条射线ac 当 2 2时 轨迹不存在ac 标准标准 方方 程程 焦点在轴上时 x1 2 2 2 2 b y a x 焦点在轴上时 y1 2 2 2 2 b x a y 注 根据分母的大小来判断焦点在哪 一坐标轴上 焦点在轴上时 x1 2 2 2 2 b y a x 焦点在轴上时 y1 2 2 2 2 b x a y 常数常数 cba 的关的关 系系 222 bca 0
3、ba 最大 abcbcbc 222 bac 0 ac 最大 可以cbababa 渐近渐近 线线 焦点在轴上时 x0 xy ab 焦点在轴上时 y0 yx ab 抛物线 图 形 x y OF l x y O F l 方 程 0 2 2 ppxy 0 2 2 ppxy 0 2 2 ppyx 0 2 2 ppyx 焦 点 0 2 p 0 2 p 2 0 p 2 0 p 准 线2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 一 椭圆 1 椭圆的性质 由椭圆方程 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 范围 椭圆落在组成的矩形中 axb a xa by a x 2 对称性 图象关于 y 轴对称
4、 图象关于 x 轴对称 图象关于原点对称 原点 叫椭圆的对称中心 简称中心 x 轴 y 轴叫椭圆的对称轴 从椭圆的方程中直接可以 看出它的范围 对称的截距 3 顶点 椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 奎屯 王新敞 新疆 椭圆共有四个顶点 加两焦点 0 0 2 aAaA 0 0 2 bBbB 共有六个特殊点 叫椭圆的长轴 叫椭圆的短轴 长分 0 0 21 cFcF 21A A 21B B 别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长 椭圆的顶点即为椭圆与对称轴ba 2 2ba 的交点 4 离心率 椭圆焦距与长轴长之比 a c e 2 1 a b e 10 e 椭圆形状与的关系 椭圆变圆 直至成为极限位置
5、圆 此时也可认为圆e0 0 ce 为椭圆在时的特例 椭圆变扁 直至成为极限位置线段 此时也0 e 1ace 21F F 可认为是椭圆在时的特例 1 e 2 椭圆的第二定义 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内 1 0 常数 那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点 定直线叫做准线 常数就是ee 离心率 椭圆的第二定义与第一定义是等价的 它是椭圆两种不同的定义方式 奎屯 王新敞 新疆 3 椭圆的准线方程 对于 左准线 右准线1 2 2 2 2 b y a x c a xl 2 1 c a xl 2 2 对于 下准线 上准线1 2 2 2 2 b x a y c a yl 2 1
6、 c a yl 2 2 焦点到准线的距离 焦参数 c b c ca c c a p 2222 二 双曲线的几何性质 1 1 范围 对称性 由标准方程 从横的方向来看 直线 x a x a 之间没有图象 从纵的1 2 2 2 2 b y a x 方向来看 随着 x 的增大 y 的绝对值也无限增大 所以曲线在纵方向上可无限伸展 不 像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭 但仍称其对称中心为双曲线的中心 2 顶点 顶点 特殊点 0 0 21 aAaA bBbB 0 0 21 实轴 长为 2a a 叫做实半轴长 虚轴 长为 2b b 叫做虚半轴长 21A A 21B B 双曲线只有两个顶点 而椭圆则有四个
7、顶点 这是两者的又一差异 3 渐近线 过双曲线的渐近线 1 2 2 2 2 b y a x x a b y 0 b y a x 4 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率 奎屯 王新敞 新疆 范围 e 1 a c a c e 2 2 双曲线形状与 e 的关系 e 越大 即渐近11 2 2 222 e a c a ac a b k 线的斜率的绝对值就越大 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知 双曲线 的离心率越大 它的开口就越阔 2 等轴双曲线 定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质 1 渐近线方程为 2 渐近线互相垂直 3 离xy 心率 2 e 3
8、 共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为 那么此双曲线方程就一x a b y 0 kx ka kb 定是 或写成 0 1 2 2 2 2 k kb y ka x 2 2 2 2 b y a x 4 共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴 虚轴为实轴 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双 曲线 区别 三量 a b c 中 a b 不同 互换 c 相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭 双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法 将 1 变为 1 5 双曲线的第二定义 到定点 F 的距离与到定直线 的距离之比为常数l 的点的轨迹是双曲线 其中 定点叫做双曲线的焦点 定直线叫做双
9、曲线 0 ac a c e 的准线 常数 e 是双曲线的离心率 6 双曲线的准线方程 对于来说 相对于左焦点对应着左准线 相对于1 2 2 2 2 b y a x 0 1 cF c a xl 2 1 右焦点对应着右准线 0 2 cF c a xl 2 2 焦点到准线的距离 也叫焦参数 c b p 2 对于来说 相对于下焦点对应着下准线 相对于1 2 2 2 2 b x a y 0 1 cF c a yl 2 1 上焦点对应着上准线 0 2 cF c a yl 2 2 三 抛物线的几何性质 1 范围 因为 p 0 由方程可知 这条抛物线上的点 M 的坐标 x y 满足 02 2 ppxy 不等式
10、 x 0 所以这条抛物线在 y 轴的右侧 当 x 的值增大时 y 也增大 这说明抛物线 向右上方和右下方无限延伸 2 对称性 以 y 代 y 方程不变 所以这条抛物线关于 x 轴对称 我们把抛物 02 2 ppxy 线的对称轴叫做抛物线的轴 3 顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 在方程中 当 y 0 时 02 2 ppxy x 0 因此抛物线的顶点就是坐标原点 02 2 ppxy 4 离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比 叫做抛物线的离心率 用 e 表 示 由抛物线的定义可知 e 1 典型例题典型例题 例 1 根据下列条件 写出椭圆方程 奎屯 王新敞 新疆 1
11、中心在原点 以对称轴为坐标轴 离心率为 1 2 长轴长为 8 2 和椭圆 9x2 4y2 36 有相同的焦点 且经过点 2 3 3 中心在原点 焦点在 x 轴上 从一个焦点看短轴两端的视角为直角 焦点到长轴 上较近顶点的距离是 510 分析 分析 求椭圆的标准方程 首先要根据焦点位置确定方程形式 其次是根据 a2 b2 c2及已知条件确定 a2 b2的值进而写出标准方程 解 解 1 焦点位置可在 x 轴上 也可在 y 轴上 因此有两解 1 12 x 16 y 1 12 y 16 x 2222 去 2 焦点位置确定 且为 0 设原方程为 a b 0 由已知5 22 22 1 yx ab 条件有
12、故方程为 1 49 5 22 22 ba ba 10 15 22 ba1 10 x 15 y 22 3 设椭圆方程为 a b 0 1 2 2 2 2 b y a x 由题设条件有及 a2 b2 c2 解得 b 510ca cb 10 5 a 故所求椭圆的方程是 1 5 y 10 x 22 例 2 直线与双曲线相交于 A B 两点 当为何值时 A B 在1 kxy13 22 yxa 双曲线的同一支上 当为何值时 A B 分别在双曲线的两支上 a 解 解 把代入1 kxy13 22 yx 整理得 1 022 3 22 axxa 当时 3 a 2 424a 由 0 得且时 方程组有两解 直线与双曲线
13、有两个交点 奎屯 王新敞 新疆 6a6 3 a 若 A B 在双曲线的同一支 须 0 所以或 3 2 2 21 a xx3 a3 a 故当或时 A B 两点在同一支上 当36 a63 a 时 A B 两点在双曲线的两支上 33 a 例 3 已知抛物线方程为 p 0 直线过抛物线的焦点 F 且 1x p2y2 myxl 被抛物线截得的弦长为 3 求 p 的值 解 解 设 与抛物线交于l 1122 3 A x yB xyAB 则 由距离公式 AB yy 2 yy k 1 1 yy x x 2121 2 2 21 2 21 则有 2 12 9 2 yy 由02yx 1 2 2 1 22 2 ppy
14、xpy p yx 去去去 2 04 2 2 2121 22 pyypyypp 从而 21 2 21 2 21 4 yyyyyy 即 2 9 4 2 22 pp 由于 p 0 解得 4 3 p 模拟试题模拟试题 1 是任意实数 则方程所表示的曲线不可能是 4sin 22 yx A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 圆 2 已知椭的一条准线方程是 则实数 的值是 1 21 12 22 tyx 8 yt A 7 或 7B 4 或 12C 1 或 15D 0 3 双曲线的离心率 则的取值范围为 1 4 22 k yx 2 1 ek A B 12 0 C 3 0 D 60 12 0 4 以的焦点为顶点
15、顶点为焦点的椭圆方程为 1 124 22 yx A B 1 1216 22 yx 1 1612 22 yx C D 1 416 22 yx 1 164 22 yx 5 抛物线的焦点坐标为 2 8mxy A B C D 0 8 1 m 32 1 0 m 32 1 0 m 0 32 1 m 6 已知点 A 2 1 的焦点为 F P 是的点 为使取xy4 2 xy4 2 PFPA 得最小值 点的坐标是 P A B C D 1 4 1 22 2 1 4 1 22 2 7 已知双曲线的渐近线方程为 一条准线方程为 则双曲线方043 yx095 y 程为 A B 1 169 22 xy 1 169 22
16、yx C D 1 259 22 xy 1 259 22 yx 8 抛物线到直线距离最近的点的坐标为 2 xy 42 yx A B C D 4 5 2 3 1 1 4 9 2 3 4 2 9 动圆的圆心在抛物线上 且动圆与直线相切 则动圆必过定点 xy8 2 02 x A 4 0 B 2 0 C 0 2 D 0 2 10 到定点 2 0 的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程为8 x 2 2 11 双曲线的一条准线是 则 22 22 mymx1 y m 12 已知点 2 3 与抛物线的焦点距离是 5 0 2 2 ppxy p 13 中心在原点 一个焦点为 F1 0 的椭圆截直线所得弦的中点横5023 xy 坐标为 求椭圆的方程 2 1 14 已知双曲线的中心在原点 过右焦点 F 2 0 作斜率为的直线 交双曲线于 5 3 M N 两点 且 4 求双曲线方程 MN 试题答案试题答案 1 C2 C3 B4 A5 B 6 A7 A8 B9 B 10 1 3672 4 22 yx 11 12 4 3 4 13 分析 分析 根据题意 可设椭圆的标准方程 与直线方程联立解方程组 利用韦达定理
