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1、高二数学抛物线 文人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：抛物线二. 重点、难点方程（）顶点焦点准线离心率（0，0）（，0）1（0，0）（，0）1（0，0）（0，）1（0，0）（0，）1【典型例题】例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是 （2）经过点解：（1）焦点在x轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是（2）经过点A（）的抛物线可能有两种标准形式：或点A（）坐标代入，即，得，点A（）坐标代入，即，得 所求抛物线的标准方程是或例2 焦点在x轴的抛物线与圆相交，它们在x轴上方交点为A，B，线段AB中点在直线上，求抛物线方程。解：均关于x轴对称 时，两根为正，与不符 时，
2、两根为负，与不符 时，两根为正，与相符设， ， AB中点在上 例3 顶点在原点焦点在x轴上的抛物线被直线截得弦长为，求抛物线方程。解： 或 或例4 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B，求证：解： 斜率不存在 斜率存在 例5 A（4，1）为抛物线内一点，过A作直线交抛物线于P、Q，A恰为PQ中点，求的方程。解：设A（）B（） 例6 A，B为抛物线，上两点，O为原点，若OAOB，求证直线AB过定点。解：设A（）B（） OAOBA，B在抛物线上 过定点（）例7 已知A（0，8），B（）及抛物线直线过原点，若A、B关于的对称点在抛物线上，求及抛物线方程。解：设，A、B关于对称点 对称 又 在抛物线
3、上 例8 抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴，AB为过焦点F的直线，若，求。解：设 例9 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长。解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为、，则又，所以即， ，由此可得，即线段AB关于x轴对称，因为x轴垂直于AB，且，所以所以例10 已知点A（2，8），B（）C（）在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合。（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程。解：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，解得所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）（2）如图，由于F
4、（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且，设点M的坐标为（），则，解得，所以点M的坐标为（11，4）（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。设BC所在直线的方程为：由消x得，所以由（2）的结论得，解得因此BC所在直线的方程为：【模拟试题】1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知M（m，4）是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，若，则此抛物线的焦点坐标是（ ） A.（0，1） B.（0，1） C.（0，2） D.（0，2）3. 抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上，此抛物线的方程是（ ） A. B. C. D
5、. 4. 焦点在直线上的抛物线标准方程是（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或5. 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，则AB的长是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 26. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于A（），B（）两点，如果，那么（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 47. 已知M为抛物线上一动点，F为抛物线的焦点，定点P（3，1），则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 68. 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、QF的长分别是、，则（ ） A. B. C. D. 9. 顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物
6、线方程是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是（ ） A.（2，4） B.（2， ） C.（1，） D.（1，）11. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线时，则此抛物线的方程是（ ）A. B. C. x或 D. 或12. 抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点（）到焦点距离是6，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 或13. 在抛物线上有三点A、B、C，其横坐标分别为在y轴上有一点D的纵坐标为6，那么以A、B、C、D为顶点的四边形是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 任意四边形14. 抛
7、物线的焦点F，准线为，交x轴于R，过抛物线上一点P（4，4），作于Q，则梯形PFRQ的面积是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 1815. 抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标为（ ） A.（2，2） B.（0，0） C.（） D.（2，0）16. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是 。17. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是，则等于 。18. 若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则M点的轨迹方程是 。19. 抛物线的弦AB垂直于x轴，若AB的长为，则焦点到AB的距离为 。20. 顶点
8、在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是 。21. 平面上的动点P到点A（）的距离比到直线的距离小2，则动点P的轨迹方程是 。22. 过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切。 23. 直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为（ ）A. 48 B. 56 C. 64 D. 72 24. 抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）A. B. C. D. 3【试题答案】1. A 2. B 3. A 4. C 5. C 6. B 7. B 8. C 9. A 10. D11. D 12. D 13. B 14. C 15. A 16. 17. 90 18. 19. 2 20. 21. 22. 证明：如图，设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD、EH、BC，垂足为D、H、C则 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且，因而圆E和准线相切 23. 解：直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，联立方程组得，消元得 因此有，和 ，梯形APQB的面积为48，选A。 24. 解：设抛物线上一点为（），该点到直线的距离为，当时，取得最小值为，选A。
