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1、高二数学高二数学导数的运算导数的运算苏教版苏教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 导数的运算 二 重点 难点 教学重点 掌握并熟记幂函数 指数函数 对数函数 三角函数求导公式 教学难点 积与商的函数导数求法 三 主要知识点 1 常见函数的导数公式 常数函数的导数 0 C 幂函数的导数 1 nn nxx 如下 1 1 2 2 111 2 xxx xxx 三角函数的导数 奎屯 王新敞 新疆 xxcos sin xxsin cos 对数函数的导数 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 x x 1 ln e x x aa log 1 log 指数函数的导数 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞
2、新疆 xx ee aaa xx ln 2 求导数的法则 1 和与差函数的导数 xvxuxvxu 由此得多项式函数导数 1n n 2 321 n n 2 210 xnaxa3xa2a xaxaxaa 2 积的函数的导数 奎屯 王新敞 新疆 u x v xu x v xu x v x Cu xCu x 特例 C f x Cf x 如 已知函数的导数为 则 答 nm mxxf 3 8 xxf n m 1 4 函数的导数为 答 2 1 1 xxy 2 321yxx 若对任意 则是 答 xR 3 4 1 1fxxf xf 2 4 xxf 3 商的函数的导数 奎屯 王新敞 新疆 2 0 uu vuv v
3、vv 典型例题典型例题 例 1 求下列导数 1 y 2 y x sin x ln x xx 1 1 1 1 3 y 4 y x x 4x x ln1 ln1 1 解 解 y xx 1 1 1 12 1 x x 22 2 2 1 2 1 1 1 1 1 xxxxxxx y xxxx 2 y x sin x ln x x sin x ln x x sin x ln x x sinx x sinx lnx x sin x 1 x sinx xcosx lnx sinx 点评点评 如遇求多个积的导数 可以逐层分组进行 求导数前的变形 目的在于简化 运算 求导数后应对结果进行整理化简 3 y 2 1 4
4、4ln41ln4 4 4 4 xx xxx xxx 4 y x x ln1 ln1 2 1 1 ln x y 22 1 2 222 1 1 ln1 ln 1 ln 1 ln x xxxxx 例 2 求函数的导数 y 2 x2 5 x 1 ex y xxx xxx sincos cossin 解 解 y 2 x2 5 x 1 ex 2 x2 5 x 1 ex 2x2 x 4 ex xsinxxcos xcosxxsin 2 xsinxx cos xsinxx cos xcosxx sin xsinxx cos xcosxx sin 2 xsinxx cos xcosx xcosxx sin xs
5、inxx cos xsinx y 2 2 cossin x xxx 点评点评 求导数是在定义域内进行的 求较复杂的函数积 商的导数 必须细心 耐 心 例 3 已知曲线 C y 3 x 4 2 x3 9 x2 4 1 求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程 2 第 1 小题中切线与曲线 C 是否还有其他公共点 解 解 1 把 x 1 代入 C 的方程 求得 y 4 切点为 1 4 Y 12 x3 6 x2 18 x 切线斜率为 k 12 6 18 12 切线方程为 y 4 12 x 1 即 y 12 x 8 由得 812 4923 234 xy xxxy 3 x 4 2 x3 9 x2 12
6、 x 4 0 x 1 2 x 2 3 x 2 0 x 1 2 3 2 代入 y 3 x 4 2 x 3 9 x 2 4 求得 y 4 32 0 即公共点为 1 4 切 点 2 32 0 3 2 除切点外 还有两个交点 2 32 0 3 2 点评点评 直线和圆 直线和椭圆相切 可以用只有一个公共点来判定 一般曲线却要用割线的 极限位置来定义切线 因此 曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点 例 4 曲线 S y x3 6 x 2 x 6 哪一点切线的斜率最小 设此点为 P x0 y0 证明 曲线 S 关于 P 中心对称 解 解 y 3 x2 12 x 1 当 x 2 时 y 有最小值 故 x 0
7、2 32 12 由 P S 知 y 0 23 6 22 2 6 12 即在 P 2 12 处切线斜率最小 设 Q x y S 即 y x3 6 x2 x 6 则与 Q 关于 P 对称的点为 R 4 x 24 y 只需证 R 的坐标满足 S 的方程即可 4 x 3 6 4 x 2 4 x 6 64 48 x 12 x 2 x 3 6 16 8 x x2 x 2 x 3 6 x 2 x 30 x 3 6 x2 x 6 24 y 24 故 R S 由 Q 点的任意性 S 关于点 P 中心对称 点评点评 本题考查导数的几何意义 求切点时 要将取最小值的 x 值代回原方程 例 5 一质点的运动方程为 s
8、 t asint bcost a 0 若速度 v t 的最大值为 且对任意6 的 t0 R 在 t t0与 t t0时速度相同 求 a b 的值 2 解 解 v t s t acost bsint v t 的最大值为 a2 b2 66 又 在 t t0与 t t0时速度相同 2 a b cost0 sint0 0 且对任意的 t0 R 且 a 0 a b 0 a b 33 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 y x 1 2的导数是 A 2 x 1 B x 1 2 C 2 D 2 1 x 2 函数在 x 2 处的导数是 x 1 y A B C D 2 1 2 1 4 1 4 1 3 下列函数中 导
9、数不等于的是 1 sin2 2 x A 2 B 2 C D x 1 cos2 4 x 2 1 sin 2 x 2 1 sin 2 x 2 1 cos 2 x 4 设函数 f x 在 x x0处有导数 且1 00 2 0 f xxf x x x 时 无限趋近于 则 f x0 A 1 B 0 C 2 D 2 1 5 下列求导数运算正确的是 2 2 32 111 1 log ln2 3 3 log cos 2 sin xx AxBx xxx CeDxxxx 6 函数 y x2cosx 的导数为 A y 2xcosx x2sinxB y 2xcosx x2sinx C y x2cosx 2xsinxD
10、 y xcosx x2sinx 二 填空题 7 与直线 2x 6y 1 0 垂直 且与曲线 y x3 3x2 1 相切的直线方程是 8 质点运动方程是 s t2 1 sint 则当 t 时 瞬时速度为 2 9 已知 f x 则 f x 3 54337 x xxx 10 已知 f x 则 f x xx 1 1 1 1 11 已知 f x 则 f x x x 2cos1 2sin 三 解答题 12 求下列函数导数 1 y 2x5 4x2 2 2 1 1 cos x y xx 3 y x2 2x 1 4 y x 1 x 2 x 3 13 用求导的方法求和 1 2x 3x2 nxn 1 x 1 14
11、水以 20 米 3 分的速度流入一圆锥形容器 设容器深 30 米 上底直径 12 米 试求当 水深 10 米时 水面上升的速度 15 在直线轨迹上运行的一列火车 从刹车到停车这段时间内 测得刹车后 t 秒内列车前 进的距离 S 27t 0 45t2 单位是米 这列火车在刹车后几秒钟才停车 刹车后又运行了 多少米 参考答案 参考答案 一 选择题 1 A 2 D 3 D 4 D 5 B 6 A 二 填空题 7 3x y 2 0 8 2 9 2x 10 11 15 8 6 1 15 7 6 7 xx 2 1 2 x 2 1 1tan x 三 解答题 12 1 y 10 x4 8x 2 22 222
12、1 1 cos 1 1 cos 1 cos xxxxxx y xx 解 222 222 22 222 22 222 1 cos 1 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 2 cos 1 sin 1 cos 21 cos 1 1 sin 1 cos xxxxxxx xx xxxxxxx xx xxxxxx xx 3 y 6x2 2x 4 y 3x2 12x 1 13 解 x x2 xn x 1 x xx n 1 1 设 f x x x2 xn f x 1 2x nxn 1 2 11 1 1 1 1 1 x xxxxn x xx nnn 2 1 1 1 1 x nxxn nn 1 2x nxn 1 1 1 1 1 2 1 x x nxxn nn 14 解 设容器中水的体积在 t 分钟时为 V 水深为 h 则 V 20t 又 V r2h 由图知 r h 3 1 30 6 h r 5 1 V 2 h3 h3 20t h3 3 1 5 1 75 75 h h 3 1500 t 3 2 3 3 11500 t 当 h 10 时 t h 3 2 5 当 h 10 米时 水面上升速度为米 分 5 15 30 秒 405 米
