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1、高二数学导数、积分、综合应用（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：导数、积分、综合应用二. 重点、难点： 1. 导数与积分可以理解为逆运算2. 导数与积分的运算公式3. 导数与函数性质的关系4. 积分与面积之间的关系5. 利用导数积分解决实际问题【典型例题】例1 求下列函数的单调区间（1） （2）解析：（1）函数的定义域为R，令，则即，解得或 函数的单调递增区间为和令，则解得 函数的单调递减区间为（2）函数的定义域为令，则 或 函数的单调递增区间为和令，则 ，且 函数的单调递减区间为和例2 如图，设有圆C和定点O，当从开始在平面上绕O匀速旋转（旋转角度不超过90）时，它扫过的圆
2、内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列选项中的（ ）例3 已知向量，若函数在区间上是增函数，求t的取值范围。解析：法一： 函数在上是增函数 在上恒成立 在上恒成立即在上恒成立令， 故要使在区间上恒成立，只需即：所求t的取值范围为：法二：依题意得 函数在区间上是增函数 对恒成立又 的图像是开口向下的抛物线 当且仅当，且时即时，在区间上满足使在上是增函数故t的取值范围是例4 已知函数（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值；解析：令，得，x变化时，的符号变化情况及的增减性如下表所示：（1）由表可得函数的递减区间为（2）由表可得，当时，函数有极大值；当x
3、=3时，函数有极小值。例5 函数，在时有极值10，则的值为（ ）A. ，或B. ，或C. D. 以上都不正确解析： 是函数极值点，且在处的极值为10 由解得或当时，当时，当时， 当时函数不存在极值当时符合题意，故应选D。例6 设曲线在点处的切线与x轴、y轴所围成的三角形面积为。（1）求切线的方程；（2）求的最大值。解析：（1）因为所以切线的斜率为故切线的方程为，即（2）令得又令得 从而 当时，当时，所以的最大值为例7 求曲线与所围成的区域的面积。解析：将区间0，1等分为n个小区间，。每个小区间的长度为过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，再分别用小区间左端点的纵坐标为高，为底作矩
4、形，于是得曲线之下小矩形面积依次为所有这些小矩形的面积和为由此得到例8 求下列定积分 解析： 例9 如图，求直线与抛物线所围成的图形面积解析：由方程组，可得，故所求图形面积为例10 利用定积分定义求解析：显见它是函数在0，1上的一个积分和，由定积分的定义有：例11 计算定积分。 分析：被积函数可先化去绝对值符号，于是需利用定积分的可加性，对积分区间分段计算。解析： 例12 求直线与抛物线所围成平面图形的面积。解析：围成平面区域为图中阴影部分，由易得以y为积分变量，则积分表达式应为，积分区间为 平面区域的面积例13 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关
5、系为，且生产吨的成本为R=50000+200x元。问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入成本）。解析：每月生产x吨时的利润为由，解得（舍去）因在内只有一个点使，故它就是最大值点，且最大值为：（元）答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元。例14 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解析：根据题意知，只有点C在线
6、段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则 BD=40，AC=50x 又设总的水管费用为y元，依题意有：，令，解得在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30（km）处取得最小值，此时AC=50x=20（km） 供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省。例15 一辆汽车的速度时间曲线如图，求该汽车在这1min内行驶的路程。解析：由速度时间曲线易知，由变速直线运动的路程公式可得答：该汽车在这1min内行驶的路程是1350m。例16 一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km
7、，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？分析：如图，设BC为海岸线，A为渔艇停泊处，设D为海岸线上一点，CD=x，只需将时间T表示为x的函数，即可确定登岸的位置。解析： 设，由A到C所需时间为T，则令，解得x=3，在x=3附近，由负到正，因此在x=3处取得极小值。又，比较可知T（3）最小。答：在距渔站3km处登岸可使抵达渔站的时间最省。例17 变速直线运动的物体的速度为，初始位置为，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置。解析：当时，当时，所以前2秒内所走过的路程2秒末所在的位置为：答：它在前2秒内所走过的路程为2，2秒末所在的位置为【模拟试题】1. 与是定义在R上的两个可导函数
8、，若、满足=，则与满足（ ）A. B. 为常数函数C. D. 为常数函数2. 一物体的运动方程为，则它的速度方程为（ ）A. B. C. D. 3.（07江苏理9）已知二次函数的导数为，对于任意实数x，有，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 4. 曲线在点A（2，10）处的切线的斜率是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 75. 过点（0，4）与曲线相切的直线方程是（ ）A. B. C. D. 6. 函数，已知在时取得极值，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 57. 若对于任意x，有，则此函数为（ ） A. B. C. D. 8. 某公司生产某种产品，固定成
9、本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是，则总利润最大时，产量是（ ） A. 100 B. 150 C. 200 D. 3009. 曲线的切线与直线平行，则该切线方程是（ ）A. B. C. D. 10. 已知三次函数在是增函数，则m的取值范围是（ ）A. 或B. C. D. 以上皆不正确11. 下列函数中，在（0，+）内为增函数的是（ ）A. B. x C. D. 12. 函数的单调递减区间为（ ）A. B.（1，0）和C. D.（，1）和13. 。14. 若函数的单调增区间为（0，+），则实数的取值范围是 。15. 已知，则 。16. 如图阴影部分是由曲线与直线，围成，则其面积为 。【试题答案】1. B 2. A 3. C 4. D 5. B 6. D 7. B 8. D 9. D 10. D11. B 12. A 13. 2 14. 15. 16.
