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1、2.2二项分布及其应用庖丁巧解牛知识巧学 一、条件概率1.设A、B为两个事件，且P（A）0，称P(B|A)=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.一般把P(A|B)读作B发生的条件下A的概率.2.条件概率的性质为：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0P(B|A)1；（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A). 疑点突破 事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的. 深化升华 已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P（BA）相当于把A看做新的基本事件空间来计算AB发生的概率，即
2、P(B|A)=.每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率则是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件），求另一事件在此条件下发生的概率. 二、事件的独立性设A、B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.“P（AB）=P（A）P（B）”，说明事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P（BA）=P（B）. 一般地，如果事件A1,A2,An相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)=P（A1）P(A2)P(An).同两事件
3、相互独立的公式应用前提一样，这儿也只有当A1,A2,An相互独立时才成立. 辨析比较 事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念.两事件“互斥”是指两事件不可能同时发生，两事件“相互独立”是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 知识拓展 1-P（A）P（B）表示两个相互独立事件A、B至少有一个不发生的概率.三、独立重复试验与二项分布1.独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.“在相同条件下”，是指在次独立重复试验中，各次试验的结果不会受到其他试验的影响.次独立重复试验常见的实例有：反复抛掷一枚均匀硬币；正（次）品率的抽样；有放回的抽样；射手射击目标
4、命中率已知的若干次射击.2.二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件A恰好发生次的概率为P（X=k）=pk（1-p）n-k，k=0，1，2，n.此时称随机变量X服从二项分布.记作XB（n,p），并称为成功概率.二项式（1-p）+pn的展开式中，第1项为Tk+1=(1-p)n-kpk，可见P(X=k)就是二项式(1-p)+pn的展开式中的第1项，故此公式称为二项分布公式. 方法归纳 求概率问题时，一般按如下步骤解决：确定所给事件的性质.归纳为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验中的某一种；u判断事件的运算.看
5、是和事件、积事件，确定事件至少有一个发生还是同时发生，从而运用相加或相乘的公式；运用相应的公式求解.问题探究问题1 我们知道，抛掷两次硬币，出现一次正面的概率是.那么抛掷100次硬币一定会出现50次正面吗？思路:不会.事实上，将一枚硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能结果（出现正面或出现反面）.出现正面的概率为，根据次独立重复试验中事件发生次的概率公式，随机掷100次正好出现50次正面的概率为P100(50)=()1000.08.这个事件发生的可能性很小.探究:误认为“抛掷100次硬币一定会出现50次正面”，是因为没有理解“次独立重复试验恰好发生次”这一概率模型.这里
6、指的是掷100次硬币恰好有50次正面，因而它的概率并不等于，应该是掷100次硬币至少有50次正面的概率为.问题2 条件概率和相互独立事件同时发生的概率有什么异同？互斥事件和相互独立事件的区别是什么？思路:设事件A、B，在事件A发生的条件下事件B发生，等价于事件A和B同时发生，即AB发生.但是在相互独立事件同时发生的概率中，A、B相互独立，互不影响，在条件概率中A、B有联系，不独立，即若B发生，则A一定发生. 互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念，两者都是对两个事件而言的，不同的是：“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否与另一个事件发生的概率没有影响.因此，
7、互斥事件和相互独立事件一定要区分清楚.探究:相互独立事件的概率求解一般是应用乘法公式，应用时要注意理解并运用相互独立事件的性质，如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.如甲乙两人独立解同一道题，甲解决该问题的概率为P1，乙解决该问题的概率为P2，求恰好有1人解决这个问题的概率.我们应明确“恰好有1人解决这个问题”是指一人解出，同时另一人解不出，而两人解决问题是相互独立的.可以记甲解决这个问题的事件为A，乙解决这个问题的事件记为B.则所求概率为P(A+B)=P（A）+P（B）=P（A）P（）+P（）P（B）=P1（1-P2）+P2（1-P1）.典题热题例1(2020浙江高考)袋子
8、A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p(1)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止求恰好摸5次停止的概率；记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布列.(2)若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值思路分析： 由题意知，问题(1)可以看做是一个独立重复试验，可能利用独立重复试验的概率公式求解；问题(2)属于一个古典概型问题，可以用古典概型的概率公式解决.解：(1)()2()2=.随机变量 的取值为0，1，2，3.由n次独立重复试验概率公式Pn(k)=pk(1
9、-p)n-k，得P(=0)=(1-)5=,P(=1)=(1-)4=,P(=2)=()2(1-)3=,P(=3)=()3+()2+（）2（）2=或P（=3）=1-P（=0)-P(=1)-P(=2)=1-随机变量 的分布列是0123P(2)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球.由,得p=. 方法归纳 解决概率问题的关键是找出概率类型，所以对各种类型必须熟悉.根据试验的特点找出试验类型，然后采用相应的公式求解.例2在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他
10、获得优秀成绩的概率. 思路分析： 本题属于条件概率问题.在已知该考生在考试中通过的前提下，获得优秀的概率，所以应根据条件概率的公式求解. 解：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题另2道答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A、B、C两两互斥，且D=ABC,E=AB.由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=;P(AD)=P(A),P(BD)=P(CB);P(E|D)=P(AB|D)=P(A|D)+P(B|D)=,所以所求的概率
11、为. 误区警示 利用公式P（BC|A）=P（B|A）+P（C|A）可使求有些条件概率较为简捷，但应请注意这个性质在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.例3甲乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：（1）两个人都译出密码的概率；（2）两个人都译不出密码的概率；（3）至多1个人译出密码的概率；（4）至少1个人译出密码的概率.思路分析： 我们把“甲独立地译出密码”记为事件A，把“乙独立地译出密码”记为事件B，显然，A，B为相互独立事件.问题（1）相当于事件A，B同时发生，即事件AB.问题（2）相当于事件.问题（3）“至多1个人译出密码”的对立事
12、件是“两个人都译出密码”，即事件AB.问题（4）“至少1个人译出密码”的对立事件是“两个人都未译出密码”，即事件.由于A、B是相互独立事件，上述问题中，与B，A与，与都是相互独立事件，可以用公式计算相关概率.解：记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”记为事件B，A、B为相互独立事件，且P（A）=，P（B）=.（1）两个人都译出密码的概率为：P（AB）=P（A）P（B）=.（2）两个人都译不出密码的概率为：P()=P（）P（）=1-P（A）1-P(B)=(1-)(1-)=.（3）“至多1个人译出密码”的对立事件是“两个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1-P(AB)=1
13、-P(A)P(B)=1-=.（4）“至少1个人译出密码”的对立事件是“两个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为1-P()=1-P()P()=1-=. 方法归纳 解答这类概率综合问题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来解决.在运用乘法公式时，一定要注意是否满足彼此独立，只有彼此独立才能运用乘法公式. 深化升华 在求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率的问题，如果从正面考虑这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但它们的对立事件却往往较简单，其概率也易求，此时，可逆向思维，先求其对立事件的概率，再利用概率的和与
14、积的互补公式，求得原来事件的概率，即正难则反.例4某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9，求他至少两次中靶的概率.思路分析： 至少有两次中靶包括恰好有2次中靶，恰好有3次中靶，恰好有4次中靶和恰好有5次中靶四种情况.而这些事件是彼此互斥的，而他每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而他射击5次是进行5次独立重复试验.解：解法一：在5次射击中恰好有2次中靶的概率为0.920.13；在5次射击中恰好有3次中靶的概率为0.930.12；在5次射击中恰好有4次中靶的概率为0.940.1；在5次射击中5次均中靶的概率为0.95.至少有2次中靶的概率为0.920.
15、130.930.12+0.940.10.95=0.008 10.072 90.328 050.590 49=0.999 54.解法二：至少有2次中靶的对立事件是至多有1次中靶，它包括恰好有1次中靶与全没有中靶两种情况，显然这是两个互斥事件.在5次射击中恰好有1次中靶的概率为0.90.14；在5次射击中全没有中靶的概率为0.15.所以至少有2次中靶的概率为1-0.90.14-0.15=1-0.000 45-0.000 01=0.999 54. 误区警示 如果我们对独立重复试验的意义理解不深刻，很容易得出其概率为0.920.13=0.008 1的错误结果.究其原因是“至少有2次中靶”这一事件并不是指“有2次中靶，而其余三次不中靶”，因而不能直接运用公式pk(1-p)n-k.该公式仅适用于求某次独立重复试验中，事件A发生了次，而其余的-次事件A不发生的概率，且P（A）=.例5某厂生产的电子元件，其每件产品的次品率为5%（即每件为次品的概率）.现从一件
