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1、高二高二数学数学单单元元复习复习人人教教版版 同步同步教教育信息育信息 一 本周教学内容 单元复习 教学目标 1 理解并掌握椭圆 双曲线 抛物线的定义 并会应用于解题过程中 2 理解并掌握椭圆 双曲线 抛物线的标准方程及几何性质 并会应用 能力训练 掌握求轨迹的常用方法 直译法 定义法 中间变量法 熟练掌握待定系数法求圆锥曲线的方程 进一步巩固数形结合的思想方法 落实坐标 法及方程思想 教学过程 一 知识结构 圆 锥 曲 线 椭 圆 椭圆的定义 标准方程 几何性质 第二定义 双曲线 双曲线的定义 标准方程 几何性质 抛物线 综合应用 第二定义 几何性质 标准方程 抛物线定义 统一定义 二 思想
2、方法总结 1 待定系数法是求椭圆 双曲线 抛物线方程的一个基本方法 2 直线和圆锥曲线的位置关系 可转化为直线和圆锥曲线的方程的公共解问题 体现 了方程的思想 数形结合也是解决直线和圆锥曲线位置关系的常用方法 3 一些最值问题常用函数思想 运用韦达定理求弦的中点和弦长问题 是经常使用的 方法 4 坐标法是研究曲线的重要方法 学会如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质 以 及用坐标法证明简单的几何问题等 三 重点知识提要 1 椭圆 双曲线 抛物线的标准方程 各取其中一种 和图形 性质如下表 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 几何条件 与两个定点的距离的 和等于常数 与两个定点的距离的 差的绝对值等于
3、常数 与一个定点和一条定 直线的距离相等 标准方程 x a y b ab 2 2 2 2 1 0 x a y b ab 2 2 2 2 1 00 ypx p 2 2 0 图形 顶点坐标 a 0 0 b a 0 0 0 对称轴 x 轴 长轴长 2a y 轴 短轴长 2b x 轴 实轴长 2a y 轴 虚轴长 2b x 轴 焦点坐标 c cab 0 22 c cab 0 22 p 2 0 离心率 e c a 01 e e 1 e 1 准线方程 x a c 2 x a c 2 x p 2 渐近线方程 y b a x 2 椭圆 双曲线 抛物线统称圆锥曲线 它们的统一性如下 1 从方程的形式看 在直角坐
4、标系中 这几种曲线的方程都是二元二次的 所以 它们属于二次曲线 2 从点的集合 或轨迹 的观点看 它们都是与定点和定直线距离的比是常数 e 的点的集合 或轨迹 这个定点是它们的集点 定直线是它们的准线 只是由于离心率 e 取值范围的不同 而分为椭圆 双曲线和抛物线三种曲线 3 这三种曲线都是可以由平面截圆锥面得到的截线 见章头图 在宇宙间运动的天体 如行星 彗星 人造卫星等 由于运动速度的不同 它们的轨 道有的是椭圆 有的是抛物线 有的是双曲线 图 1 图 1 四 例题分析 例 1 选择题 1 10036 110 22 椭圆上的点 到它的左准线的距离是 那么点 到它右焦点的 xy PP 距离为
5、 A 15B 12C 10D 8 2 已知 A 0 5 B 0 5 PA PB 2a 当 a 3 和 5 时 点 P 的轨迹为 A 双曲线和一条直线 B 双曲线和两条射线 C 双曲线一支和一条直线 D 双曲线一支和一条射线 3175 2 2 2 2 1212 设点 为双曲线上一点 为它的焦点 如果P x a y b FFPF F PF F 21 15 则双曲线的离心率为 ABCD 4 3 3 6 2 23 的420 2 112233 抛物线 上有 三点 是它ypxpA xyB xyC xyF 焦点 若 AF BF CF 成等差数列 则 A x1 x2 x3成等差数列 B y1 y2 y3成等差
6、数列 C x1 x3 x2成等差数列 D y1 y3 y2成等差数列 解 解 11068 4 5 由椭圆方程知 abce c a 由椭圆第二定义 PF PF 1 1 10 4 5 8 由椭圆第一定义 PFPFaPF 122 22012 点 到它的右焦点的距离为 选 PB12 解 解 2 双曲线第一定义 平面内 动点 M 定点 F1 F2 若 MF1 MF2 2a 1 当 2a F1F2 时 动点没有轨迹 特别 MF1 MF2 2a 且 1 成立时 为右一支 MF2 MF1 2a 且 1 成立时 为左一支 210326caa 时 22acP 点轨迹为上一支 aaacP 521022时 点轨迹为一
7、条射线 选 D 解 解 3 设 PF1 m PF2 n ncmc275215sinsin nmca275152 sinsin c a C 1 7515 2 sinsin 选 y P n m x F1 F2 75 解 解 4 由抛物线定义 AF AA BFBBCFCC 2 BFAFCF 2 BBAACC 又 AAx p BBx p CCx p 123 222 2 222 2 213213 x p x p x p xxx 选 A y x C B A C B A F p 2 0 x p 2 例 2 填空题 值1925225 22 12 椭圆上一点 到两焦点 的距离之积为 当 取最大xyPFFmm 时
8、 PF1F2的面积为 右210040 2 2 2 2 双曲线 的一个焦点为 过双曲线的 x a y b abF 顶点作垂直于 x 轴的直线交渐近线于 A B 两点 则 AOB 的最大面积为 3 设抛物线 y2 2px p 0 上各点到直线 3x 4y 12 0 的距离的最小值为 1 则 p 的值为 4 与圆 x2 y2 1 外切 且和 x 轴相切的动圆圆心 M 的轨迹方程为 解 解 1 259 153 22 原方程化为 xy ab PFPF PFPF 12 122 2 25 当且仅当 PF1 PF2 时等号成立 点 P 只有在 y 轴上时等号成立 即 m 25 m 取最大值 25 此时 Sc
9、bb c PF F 1 2 1 2 23412 y P 3 x F1 O F2 5 解 解 2 ABxa的方程为 xa y b a x Aa b Sb aa b AOB 1 2 2 又 cbca 4 22 Sabaaaa aa AOB 1616 16 2 8 222 22 2 当且仅当 即时等号成立 aaa 22 162 2 AOB的最大面积为 8 y y b a x A x O a F 4 0 B x a 解 解 3 设抛物线上一点 P x y 则点 P 到 3x 4y 12 0 的距离等于 1 的直线方程为 3x 4y 7 0 ypx xy x p yy 2 2 2 3470 3 2 47
10、0 消去 1628 3 2 0 21 8 p p y x 4 4 解 解 4 设两圆的切点为 A M x y AMMN MOMNy 1 xyy 22 1 化简得 xy 2 21 动圆圆心的轨迹方程为 Mxy 2 21 y M A x O 1 N 例 3 ABC 的三边 a b c a b c 成等差数列 两顶点 A C 的坐标分别为 A 1 0 C 1 0 求 ABC 的重心的轨迹方程 分析 分析 由已知 2b a c 即 2 AC BA BC 4 由椭圆定义可知 点 B 的轨迹是以定点 A C 为焦点的椭圆 方程为 x a y b 2 2 2 2 1 又 24213 2 aacb 点 的轨迹
11、方程为 B xy x 22 43 120 设 GxyB xy 11 又分得比 GBO 2 x xxx xx 121 1 13 3 y yyy yy 121 1 13 3 点 在上Bxy xy 11 22 43 1 3 4 3 3 1 22 xy 即 9 4 31 2 3 0 2 2 x yx y B x1 y1 G x y x A 1 0 0 C 1 0 注 这是典型的利用中间变量法把所求的轨迹上的点 x y 通过中间变量 x1 y1 转移到已知曲线上 通常这种方法也叫转移法 或叫代入法 模模拟试题拟试题 1 抛物线 y2 4x 经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 A yxB yx 22 121
12、C yxD yx 22 1 2 21 2 当 从 0 到 180 变化时 曲线 x2 y2 cos 1 怎样变化 点3 916 1 22 1212 双曲线的两个焦点 若点 在双曲线上 且 求 xy FFPPFPF P 到 x 轴的距离 试题试题答案答案 1 解 解 设过焦点的直线为 y k x 1 yk x yx y 1 4 2 消去 k xkxk 2222 240 设 AxyBxy 1122 xx k k 12 2 2 24 设弦 AB 的中点为 M x y x xxk k yk x 12 2 2 2 2 1 yk k kk 2 2 2 1 2 即消去 得 x k k y k kyx 2 2
13、 2 2 2 21 y A x1 y1 M x y x O F 1 0 B x2 y2 2 解 解 当时 方程为 表示圆101 22 xy 当时 209001 1 1 cos cos 方程 表示焦点在 轴上的椭圆x y y 2 2 1 1 cos 当时 方程为 表示平行 轴直线3901 xy 当时 49018010 1 1 cos cos 方程表示焦点在 轴上双曲线 x y x 2 2 1 1 cos 当时 方程 表示焦点在 轴上的等轴双曲线 51801 22 xyx 3 解 解 由双曲线的方程知 a 3 b 4 cc5210 在中 Rt PF Fcmn 12 222 2 102 22 mamn 26432mnmn Smn PF F 12 1 2 16 又 Sc y PF F 12 1 2 216 y 16 5 点 到 轴的距离为 Px 16 5 y P x y m n x F1 O F2
