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1、2.1 比较法课堂探究1作差比较法证明不等式的一般步骤剖析:(1)作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差(2)变形:将差式进行变形,变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方和等等(3)判断符号:根据已知条件与上述变形结果,判断差的正负号(4)结论:根据差的正负号下结论知识拓展 若差式的符号不能确定,一般是与某些字母的取值有关时,则需对这些字母进行讨论2作商比较法中的符号问题的确定剖析:在作商比较法中,1ba是不正确的,这与a,b的符号有关,比如若a,b0,由1,可得ba,但若a,b0,则由1得出的反而是ba,也就是说,在作商比较法中,要对a,b的符号作出判断否则
2、,结论可能是错误的名师点拔 使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值,若均为负值时,可先同乘以1,转化后再进行证明 题型一 利用作差比较法证明不等式【例1】已知a1,求证:.分析:因不等式两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号,故可用作差比较法进行证明证明:()()0,.反思 根据左、右两边都含无理式的特点,也可以采取两边平方的方法来比较,但是应先判断两边的符号,都大于0时,两边平方是等价变形,都小于0时要改变不等号.题型二 利用作商比较法证明不等式【例2】已知a0,b0,求证:.分析:因为a,b均为正数,故而不等式左边和右边都是正数,所以可以用作商比较法进行比较证明:,又a2b2
3、2ab,1,当且仅当ab0时取等号.反思 作商比较法的前提条件是两个数a,b都大于0,对进行整理,直到能清晰看出与1的大小关系为止在运算过程中注意运用计算技巧.题型三 比较法在综合题目中的应用【例3】已知数列an的首项a15,前n项和为Sn,且Sn12Snn5(nN)(1)证明数列an1是等比数列;(2)令f(x)a1xa2x2anxn,求函数f(x)在点x1处的导数f(1),并比较2f(1)与23n213n的大小分析:在比较大小时,作差法的差式与“n”的取值有关,且大小关系随“n”的变化而变化(1)证明:由已知Sn12Snn5,n2时,Sn2Sn1n4,两式相减,得Sn1Sn2(SnSn1)
4、1,即an12an1,从而an112(an1)当n1时,S22S115,a1a22a16.又a15,故a211,从而a212(a11)故总有an112(an1),nN.又a15,a110,从而2,即an1是以a116为首项,2为公比的等比数列(2)解:由(1)可知an32n1.f(x)a1xa2x2anxn,f(x)a12a2xnanxn1.从而f(1)a12a2nan(321)2(3221)n(32n1)3(2222n2n)(123n)3n2n1(22n)3(n2n12n12)3(n1)2n16.则2f(1)(23n213n)12(n1)2n12(2n2n1)12(n1)2n12(n1)(2n1)12(n1)2n(2n1)(*)当n1时,(*)式0,2f(1)23n213n;当n2时,(*)式120,2f(1)23n213n;当n3时,n10,又2n(11)nCCCC2n22n1,(n1)2n(2n1)0,即(*)式0,从而2f(1)23n213n.反思 此类比较大小的题是典型的结论不唯一的题在数列中,大小问题可能会随“n”变化而变化往往n1,2,前几个自然数对应的值与后面nn0的值大小不一样,这就要求在解答这样的题时,要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头,即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论