《高中数学 第二章 解三角形 2.2 三角形中的几何计算 学习正、余弦定理应当掌握的几类重要应用问题素材 北师大版必修5（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 解三角形 2.2 三角形中的几何计算 学习正、余弦定理应当掌握的几类重要应用问题素材 北师大版必修5（通用）（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习正、余弦定理应当掌握的几类重要应用问题学习正、余弦定理的目的主要是解决解三角形问题，这是学习正、余弦定理的重点之处。而重中之重则是利用正、余弦定理解决实际问题。利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识。一、确定两地间的距离问题ABCP例1.某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离解：如图，在ABP中，AB = 30= 20，APB =，BAP =，由正弦定理，得：=，即=，解得BP =在BPC中，B
2、C = 30= 40，由已知PBC =，PC = (海里)所以P、C间的距离为海里点评：该题是在准确理解方位角的前提下，合理运用正弦定理把问题解决。因此，用正弦定理解有关应用问题时，要注意问题中的一些名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等二、解决航行中的测量问题西北南东ABC3015例2某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30北的方向上。 在ABC中，可知
3、AB=300.5=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC直线AB，垂足为C，则SC=15sin30=7.5。这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。ABC北4515点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。三、判断运动物体的运行情况例3如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9n mile并以
4、20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设ABC=，BAC=。=1804515=120。根据余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）。AC=28=21 n mile，BC=20=15 n mile。根据正弦定理，得，又=120，为锐角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏东arcsin的方向用h可以追上乙船。点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC、AB边已知，另两边未
5、知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。四确定最佳设计方案例4.某工厂生产主要产品后，留下大量中心角为，半径为a的扇形边角料，现要废物利用，从中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？方案一:如图1，矩形有两个顶点在半径OA上，设AOP =，则PM = asin，扇形中心角为，PQO =，由正弦定理，得：=，即PQ =asin()，矩形的MPQR的面积为：S=PMPQ =asinsin() =aa(1) =a，当=时，cos() = 1，S取得最大值a方案二:如图2，矩形有两个顶点分别在
6、扇形的两条半径OA、OB上，设AOM =，MRA =，MRO =，由正弦定理，得：=，即RM = 2asin，又=，OR = 2asin()，矩形的MPQR的面积为：S= MRPQ = 4asinsin() = 2a2a(1) = (2)a即在此情况下，AOM =时，可求出M点，然后作出MPQR面积为最大APBMRQABPMRQ图1图2由于SS=a(2)a=(12)0，所以第一种方案能使裁出的矩形面积最大，即AOP =，使P取在AB弧中点，分别向扇形的一条半径作垂线及平行线得到矩形MPQR，即为最大矩形点评：该题从实际出发，要尽可能使面积最大，则有两种裁剪方法一种是使矩形的一边落在扇形的半径上，另一种是使矩形的两顶点分别在扇形的两条半径上，分别计算出这两种情况下的最大值，再比较结果得出最佳方案
