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1、湖南省邵东县创新实验学校2020学年高二数学上学期创高杯竞赛试题时量120分钟 总分150分注意事项:1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1(5分)若,则a,b,c的大小关系是ABCD2(5分)在等比数列中,则( )A3BCD3(5分)设命题在定义域上为减函数;命题为奇函数,则下列命题中真命题是( )ABCD4(5分)下面命题正确的是A若,则B命题“,”的否定是“,”C若向量,满足,则与的夹角为钝角D“”是“”的必要不充分条件5(5分)在中, ,则( )ABC3D6(5分)已知点为抛物线上的动点,点在轴上的射影是点坐标为,则的最小值是( )ABCD7
2、(5分)已知双曲线的一个焦点与圆的圆心重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线方程为( )ABCD8(5分)如图,某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( )ABCD39(5分)已知,是两个不重合的平面,直线,则是的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10(5分)若,满足则的最小值为( )A2B10C4D811(5分)以下命题正确的个数是( )“”是“”的充分不必要条件命题“”的否定是“”如果关于的不等式的解集不是空集,则的取值范围是命题“在中,若,则”的逆命题为假命题A0B1C2D312(5分)意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:,
3、即,此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用若此数列被2整除后的余数构成一个新数列,则数列的前2020项的和为( )A672B673C1346D2020第II卷(非选择题)二、填空题13(5分)九章算术是我国古代著名的数学典籍,其中有一道数学问题:“今有勾八步,股十五步。问勾中容圆,径几何?”意思是:在两条直角边分别为八步和十五步的直角三角形中容纳一个圆,请计算该圆直径的最大值为_步.14(5分)已知数列满足, ,则_15(5分)的内角所对的边成等比数列,则的最小值为_.16(5分)已知为坐标原点,为椭圆的右焦点,过点的直线在第一象限与椭圆交与点,且为正三角形,则椭圆的离心率为_
4、.三、解答题17(10分)计算:(1);(2)18(12分)在中,(1)求角的大小;(2)设,其中,求取值范围19(12分)设等差数列的公差为d,d为整数,前n项和为,等比数列的公比为q,已知,(1)求数列与的通项公式;(2)设,求数列的前n项和为.20(12分)如图,菱形所在平面与所在平面垂直,且,.(1)求证:ABCE(2)求点到平面的距离.21(12分)已知抛物线,过点的动直线交抛物线于,两点(1)当恰为的中点时,求直线的方程;(2)抛物线上是否存在一个定点,使得以弦为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由22(12分)设函数,且函数的图象关于直线对称(1)求函数在区
5、间上的最小值;(2)设,不等式在上恒成立,求实数的取值范围参考答案1D 2A 3C 4D 5B 6D 7B 8A 9B 10C 11C 12C136 1410000 15 1617(1)原式(2)原式18(1)因为,所以,所以 ,又因为,所以 ,解得,由余弦定理得,因为,所以.(2) ,因为,所以,所以取值范围为.19解:(1)有题意可得:,解得(舍去)或,所以2n1,(2),可得,故20(1)作,垂足为,连接,由,可得,所以,因为,所以平面,因为平面,所以;(2)由(1)知,平面,所以是三棱锥的高,且,由,得,所以的面积,三棱锥的体积,由(1)知, ,又,所以,由,可得,因为,所以的面积,设点到平面的距离为,则三棱锥的体积,由得,因此,点到平面的距离为.21(1)设,两点坐标分别为,当恰为的中点时,显然,故,又,故则直线的方程为(2)假设存在定点,设,当直线斜率存在时,设,联立整理得,由以弦为直径的圆恒过点知,即即故,即整理得即当时,恒有,故存在定点满足题意;当直线斜率不存在时,不妨令,也满足综上所述,存在定点,使得以弦为直径的圆恒过点22(1)关于直线对称,故 ,函数在上单调递减,在上单调递增,当时, 的最小值为1 (2) 可化为,化为,令,则,因故,记,故,的取值范围是