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1、高等几何多媒体课件 教师授课助手学生自修向导 课程概论 一 高等几何的内容 高等几何 数学与应用数学专业主干课程之一 前三高 数学分析 高等代数 高等几何 后三高 实变函数 近世代数 点集拓扑 高等几何 射影几何 几何基础 本课程 主要介绍平面射影几何知识 教材前五章 综合大学 空间解几 仿射几何 射影几何 一个学期 课程概论 一 高等几何的内容 什么是射影几何 直观描述 欧氏几何 仿射几何 射影几何 十九世纪名言 一切几何学都是射影几何 鸟瞰下列几何学 欧氏几何 初等几何 研究图形在 搬动 之下保持不变的性质和数量 搬动 正交变换 对图形作有限次的平移 旋转 轴反射的结果 欧氏几何 研究图形
2、的正交变换不变性的科学 统称不变性 如距离 角度 面积 体积等 仿射几何 平行射影 仿射变换 仿射几何 研究图形的仿射变换不变性的科学 透视仿射变换 有限次平行射影的结果 仿射不变性 比如 平行性 两平行线段的比等等 射影几何 中心射影 射影变换 射影几何 研究图形的射影变换不变性的科学 透视变换 有限次中心射影的结果 射影不变性 比如 几条直线共点 几个点共线等等 射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念 课程概论 一 高等几何的内容 二 高等几何的方法 综合法 给定公理系统 一套相互独立 无矛盾 完备的命题系统 演绎出全部内容 解析法 形 数结合 利用代数 分析的方法研究问题 本课程 以解
3、析法为主 兼用综合法 课程概论 一 高等几何的内容 二 高等几何的方法 三 开课目的 学习射影几何 拓展几何空间概念 引入几何变换知识 接受变换群思想 训练理性思维 抽象思维 逻辑推理能力 增强数学审美意识 提高数学修养 新颖性 趣味性 技巧性 反馈于初等几何和其他学科 提高观点 加深理解 举一反三 四 几何的发展历史线索 射影几何学是一切的几何学 英 Cayley 经验几何 远古 元前600年 元前600年 400年 积累了丰富的经验 但未上升成系统理论 埃及几何跟希腊逻辑方法相结合 以抽象化 逻辑化为特点 画法几何 解析几何 17世纪 仿射几何 坐标法 代数几何 代数法 微分几何 19世纪
4、 分析方法 射影几何 19世纪 综合法 爱尔兰根纲领代数法 特例 应用 四 几何的发展历史线索 非欧几何 19世纪 四 几何的发展历史线索 拓扑学 几何与代数 分析相结合 多样化发展 分形几何 周学时3 一个学期 学习第一章 第六章 五 课程简介 主要参考书 梅向明 门淑惠等编 高等几何 高等教育出版社出版 2008年 朱德祥 朱维宗等编 高等几何 第二版 高等教育出版社出版 2010年 罗崇善编 高等几何 高等教育出版社出版 1999年6月 朱德祥 李忠映 徐学钰等编 高等几何习题解答 第一章仿射坐标与仿射变换 本章地位 学习射影几何的基础 本章内容 阐明仿射变换的概念 研究仿射变换的不变量
5、与不变性质 学习注意 认真思考 牢固掌握基本概念 排除传统习惯干扰 透视仿射对应 一 概念 与b交于 1 同一平面内两直线a到b间的透视对应 设L为平面上另外一直线 a与b不平行 过a上的点作与L平行的直线 即得a到b的一个一一映射 称为透视仿射对应 注 透视仿射对应与L的方向无关 若a与b相交 交点称为自对应点 第一章 仿射坐标与仿射变换 两条直线间的透视仿射对应 L a b 第一章 仿射坐标与仿射变换 两个平面间的透视仿射对应 M A B C A1 B1 C1 L 第一章 仿射坐标与仿射变换 2 定义 P1 P2 P 第一章 仿射坐标与仿射变换 称 2 符号 P1P2P 表示一个数 是有向
6、线段P1P与P2P的比值 与解几中的定比分点反号 3 与定比的区别 1透视仿射对应 二性质 3保平行性 2保单比不变 1透视仿射对应 1保同素性和结合性 第一章 仿射坐标与仿射变换 第二节 仿射对应与仿射变换 一 概念 设同一平面内有n条直线 如下图 是 的透视仿射对应 经过这一串对应 得到 的透视仿射对应 这个对应称为 的仿射对应 记作 如图所示 第一章 仿射坐标与仿射变换 如图 第一章 仿射坐标与仿射变换 二 性质 为什么 第一章 仿射坐标与仿射变换 1 保持同素性和结合性 2 保持共线三点的单比不变 3 保持直线的平行性不变 注 仿射对应下 对应点的连线不一定平行 反之 若两个平面间的一
7、个点对应 变换 保持同素性 结合性和共线三点的单比不变 则这个点对应 变换 称为仿射对应 变换 例 平行四边形经仿射 对应 变换仍变为平行四边形 例 两平行线段之比经仿射对应不变 例 仿射对应保持平形性不变 第一章 仿射坐标与仿射变换 第三节 仿射坐标系 第一章 仿射坐标与仿射变换 第一章 仿射坐标与仿射变换 仿射变换的坐标表示 已知仿射坐标 仿射变换为 T变换将 且 第一章 仿射坐标与仿射变换 平行四边形变为平行四边形 且保持单比不变 故在坐标系中的坐标为 x y o o p p px py px py x y y x 第一章 仿射坐标与仿射变换 一方面 另一方面 所以 第一章 仿射坐标与仿
8、射变换 例已知三点求仿射变换T使顺次变为 练习 1 求使直线分别变为的仿射变换 2 已知仿射变换求点的像点 及直线的像直线 第一章 仿射坐标与仿射变换 复习仿射坐标及代数表示式 正交变换位似变换 第一章 仿射坐标与仿射变换 相似变换压缩变换 第一章 仿射坐标与仿射变换 第四节 仿射性质 一 定义 图形经过任何仿射变换后都不变的性质 量 称为图形的仿射性质 量 第一章 仿射坐标与仿射变换 同素性 结合性 平行性是仿射性质 单比是仿射不变量 证明 两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线 证明 设变换为 T 第一章 仿射坐标与仿射变换 例 二 重要结论 1 两相交直线经仿射变换后仍为相交直线 第一章
9、 仿射坐标与仿射变换 2 共点直线仍变为共点直线 3 两平行线段之比是仿射不变量 4 两三角形面积之比是仿射不变量 证明见课本 5 两个多边形面积之比是仿射不变量6 两封闭图形面积之比是仿射不变量 例 求椭圆的面积 A B C O D 第一章 仿射坐标与仿射变换 设在笛卡尔直角坐标系下椭圆方程为 第一章 仿射坐标与仿射变换 2 1射影平面 一 中心射影 1 平面上两直线间的中心射影 定义1 22 因此 1 l l是l 到l的中心射影 OP投射线 P l上的点P在l 上的像 Pl 上的点P 在l上的像 OV l 与l不相交 V 为l 上的影消点 影消点的存在 导致两直线间的中心射影不是一个一一对
10、应 X l l 自对应点 OU l 与l 不相交 U为l上的影消点 三个特殊点 2 1射影平面 一 中心射影 2 平面到平面的中心射影 定义1 23 OP投射线 P 上的点P在 上的像 P 上的点P 在 上的像 因此 是 到 的中心射影 自对应直线 不变直线 三条特殊的线 u为由影消点构成的影消线 v 为由影消点构成的影消线 影消线的存在导致两平面间的中心射影不是一个一一对应 2 1射影平面 一 中心射影 1 平面上两直线间的中心射影 定义1 22 2 平面到平面的中心射影 定义1 23 均不是一一对应 中心射影不是双射的原因 存在影消点 影消线 存在影消点 影消线的原因 平行的直线没有交点
11、如何使得中心射影成为一一对应 给平行线添加交点 一 中心射影 二 无穷远元素 目标 改造空间 使得中心射影成为双射 途径 给平行直线添加交点 要求 不破坏下列两个基本关系 两条相异直线确定惟一一个点 交点 两个相异点确定惟一一条直线 连线 点与直线的关联关系 2 1射影平面 2 1射影平面 二 无穷远元素 约定1 1 1 在每一条直线上添加惟一一个点 此点不是该直线上原有的点 称为无穷远点 理想点 记作P 2 相互平行的直线上添加的无穷远点相同 不平行的直线上添加的无穷远点不同 区别起见 称平面上原有的点为有穷远点 通常点 记作P 约定1 1 3 按约定 1 2 添加无穷远点之后 平面上全体无
12、穷远点构成一条直线 称为无穷远直线 理想直线 记作l 区别起见 称平面上原有的直线为有穷远直线 通常直线 l 总结 在平面上添加无穷远元素之后 没有破坏点与直线的关联关系 同时使得中心射影成为一一对应 2 1射影平面 理解约定1 1 1 2 1 对应平面上每一方向 有惟一无穷远点 平行的直线交于同一无穷远点 交于同一无穷远点的直线相互平行 2 每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点 3 平面上添加的无穷远点个数 过一个通常点的直线数 4 不平行的直线上的无穷远点不同 因而 对于通常直线 两直线 平行 不平行 交于惟一 无穷远点 有穷远点 平面上任二直线总相交 5 空间中每一组平行直线交于惟一无穷
13、远点 6 任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点 2 1射影平面 理解约定1 1 3 1 无穷远直线为无穷远点的轨迹 无穷远直线上的点均为无穷远点 平面上任何无穷远点均在无穷远直线上 2 每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点 3 每一平面上有且仅有一条无穷远直线 4 每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线 过同一条无穷远直线的平面相互平行 因而 对于通常平面 两平面 平行 不平行 交于惟一 无穷远直线 有穷远直线 空间中任二平面必相交于唯一直线 2 1射影平面 三 射影平面 定义通常点和无穷远点统称拓广点 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线 射影仿射直线
14、 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面 射影仿射平面 定理在拓广平面上 点与直线的关联关系成立 1 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线 2 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点 1 拓广直线的封闭性 拓广直线 向两方前进最终都到达同一个无穷远点 四 拓广直线 拓广平面的基本性质及模型 欧氏直线 向两个方向无限伸展 1 拓广直线 射影仿射直线 2 1射影平面 2 拓广直线的拓扑模型 2 1射影平面 3 射影直线上点的分离关系 欧氏直线 一点区分直线为两个部分 射影直线 一点不能区分直线为两个部分 欧氏直线 两点确定直线上的一条线段 射影直线 两点不能确定直线上的一条线段 点偶A B分离点偶C D
15、 点偶A B不分离点偶C D 2 1射影平面 i 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域 任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域 ii 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域 两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域 在射影平面上 可以证明 I II为同一区域 III IV为同一区域 2 射影平面 射影仿射平面 四 射影直线 射影平面的基本性质及模型 1 射影平面的封闭性 从两个方面理解 2 射影平面 射影仿射平面 四 射影直线 射影平面的基本性质及模型 射影平面的封闭性 2 1射影平面 1 4Desargues透视定理 一 Desargues透视定理 一个古老 美丽 实用的重要定理 1 两
16、个三点形的对应关系 若两个三点形对应顶点的连线共点 则称这对对应三点形具有透视中心 透视中心也称为Desargues点 若两个三点形对应边的交点共线 则称这对对应三点形具有透视轴 透视轴也称为Desargues线 问题 请问你是怎样画出这两个图的 画图过程演示 一 Desargues透视定理 1 两个三点形的对应关系 2 Desargues透视定理 定理 Desargues透视定理及其逆 注1 满足Desargues定理的一对三点形称为透视的三点形 1 4Desargues透视定理 证明 Desargues定理画图过程演示 一 Desargues透视定理 2 Desargues透视定理 注2 关于Desargues构图 左图表示了一对透视的三点形ABC A B C 左图中共有10个点 10条直线 过每个点有三条直线 在每条直线上有三个点 这10点 10线地位平等 此图称为Desargues构图 1 4Desargues透视定理 分析 为证X Y Z三点共线 试在图中找出一对对应三点形 具有透视中心 且对应边的交点恰为X Y Z 二 应用举例 1 证明共线点与共点线问题 由题给 X Y
