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1、 第四章虚功原理和结构位移计算Computationofdisplacementofstructure 主要内容 4 2刚体体系虚功原理及其应用 4 3变形体结构位移计算一般公式 4 4荷载作用下的位移计算及举例 4 5图乘法 4 6温度作用时的位移计算 4 7互等定理 4 8小结 4 1结构位移概念 4 1结构位移概念 1 工程结构在荷载作用 温度变化 材料收缩和支座移动等因素下 结构的形状一般会发生变化 变形 或形变 结构的截面位置会发生变化 位移 线位移或角位移 为超静定结构的内力分析打下基础 为研究结构动力计算和稳定分析的打基础 在结构的制作 架设 养护等过程中 往往需预先知道结构的变
2、形情况 以便采取相应的措施 如图 以消除位移的影响 2 结构位移计算的目的 1 验证结构的刚度 3 位移产生的原因 1 结构 荷载作用 2 结构 虽不一定产生应力和应变 但却使结构产生位移 变形 deformation 结构在外部因素作用下 产生尺寸形状的改变 由于变形将导致结构各结点位置的移动 于是产生位移 1 线位移 4 结构位移 2 角位移 3 位移有 相对位移 与 绝对位移 之分 上述各种位移统称为 广义位移 与广义位移相对应的力称为 广义力 在梁和桁架中 垂直方向位移称为挠度 deflection 在刚架中 结点水平方向位移 称为侧移 在超静定刚架中 荷载作用下 结点不仅有角位移 同
3、时有侧移现象 如图示 4 各种位移举例 相对位移Relativedisplacement CD C D 绝对位移 Absolutedisplacement 一般而言 位移有其产生的原因和所在结构部位和方向 位移用 表示 双角标表示 第二角标 产生该位移的原因 ij 由于作用于j点确定方向的力Pj所引起的i点在某确定方向的位移 柔度 Flexibility 单位力所引起的位移 ij 间接柔度 jj 直接柔度 jj 0 5 计算位移的有关假定1 结构材料服从 虎克定律 即应力 应变成线形关系 2 小变形假设 变形前后荷载作用位置不变 3 结构各部分之间为理想联结 不计摩擦阻力 4 当杆件同时承受轴
4、力与横向力作用时 不考虑由于杆弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响 满足以上要求的体系为 线变形体系 因位移与荷载为线形关系 故求位移时可用叠加原理 6 计算结构位移的方法 4 2刚体体系虚功原理及其应用 一 基本概念 1 功 Work 2 实功 力由于自身所引起的位移而作功 实功的计算式为 3 虚功 当位移与作功的力无关时 这样的功称为虚功 虚功的计算式为 4 虚功对应的两种状态及应满足的条件 虚功的两因素 1 虚力状态 为求真实位移而虚设的力状态 应满足静力平衡条件 2 虚位移状态 为求真实力而虚设的位移状态 应满足变形协调条 刚体虚功原理 刚体平衡的充要条件是作用于刚体上的外力在刚
5、体的任何虚位移上所作的虚功总和为零 即 3 虚力原理 研究虚设的平衡力系在实际位移上的功 以计算结构的未知位移 如挠度 转角等 4 虚位移原理 研究实际的平衡力系在虚设位移上的功 以计算结构的未知力 如支座反力等 二 刚体虚功原理 理论力学 质点 质点系虚功原理 1 虚力原理 Virtualforcetheory 以图 a 示静定梁为例说明虚力原理 已知 支座A移动位移c1 求 故用虚力原理 虚设一单位力 如图 b 示 由平衡条件知 由虚功方程 即 应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移 方向虚设单位荷载 并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力 这种解法称为单位荷载法 特点 利用静力平衡
6、 通过虚功方程来解几何问题 适用范围 刚体体系的位移计算 变形体体系的位移计算问题 2 支座位移时静定结构的位移计算 即 单位荷载所作的虚功在数值上正好等于拟求的位移 例1 如图示梁在支座A有竖向位移cA 拟求C点的竖向位移 C 杆CD的转角 解 1 在 点加一竖向 图 b 示 a 列虚功方程 在 杆上一力偶 图 示 解得 所得位移为正 表明与单位荷载方向一致 小结 支座K有给定位移cK时静定结构的位移计算步骤 2 令虚设力在实际位移上作虚功 写出虚功方程 3 求拟求位移为 图 c 例2 已知B截面处有相对转角 拟求A点的竖向位移 分析 图 a 2 虚设P 1 3 虚功方程 所以 1 等效图
7、b 例题3三铰刚架 支座B发生如图所示的位移 a 5cm b 3cm l 6m h 5m 求由此而引起的左支座处杆端截面的转角 A 5 解 思路 沿拟求位移方向上加单位力 图2 求出支座反力后依求位移公式计算位移 图1 图2 3 局部变形时刚体体系的位移计算公式 图示悬臂梁B点附近的微段ds有局部变形 微段局部变形包括 平均剪切应变 轴线曲率为k 求A点沿方向的位移分量d 思路 相对剪切位移d ds 相对转角d kds ds R 首先 dl gds dq B截面发生集中的相对位移d d d 最后 应用刚体虚功原理 得 或 4 3变形体结构位移计算一般公式 其中 虚拟单位力下的弯距 轴力 剪力和
8、反力 实际变形状态轴线曲率 轴线伸长应变 平均剪切应变和支座位移 一 公式 分析 见图 a 求结构上任一点C沿指定方向K K 上 的分位移 1 可按常规计算方法 但计算工作麻烦 2 利用虚功原理 结构有变形又要有力系 求结构变形 须有平衡力系 虚功原理中 作功力系与位移可以彼此无关 二者之一可以虚设 见图 b 状态II 表示虚拟状态 沿K K 方向作用 1 先设刚架处于II 内力 外力满足平衡条件 2 再设其产生I的位移 即 将结构的实际位移作为状态II的虚位移 根据虚功原理和得 此即为由虚功原理得到的计算结构位移的一般公式 称单位载荷法 它可以计算结构的 线位移 角位移 结构绝对 相对位移
9、虚拟状态中的单位力为所计算位移相应的广义力 二 变形体位移计算的步骤 1 沿拟求位移 方向虚设相应的单位荷载 3 利用公式计算拟求位移 注 1 是广义位移 2 应用单位荷载法每次只能求得一个位移 3 虚拟单位力的指向可任意假定 求出结果为正表明实际位移方向与虚拟单位力的方向一致 否则相反 三 几种类型的虚拟状态求线位移 沿拟求位移方向上施加相应的单位力 求转角 相对转角 沿拟求位移方向上施加相应的单位力矩 若求结构上C点的竖向位移 可在该点沿所求位移方向加一单位力 如图示 2 若求结构上截面A的角位移 可在截面处加一单位力偶 若求桁架中AB杆的角位移 应加一单位力偶 构成这一力偶的两个集中力的
10、值取1 d 作用于杆端且垂直于杆 d为杆长 3 若要求结构上两点 A B 沿其连线的相对位移 可在该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力 4 若求梁或刚架上两个截面的相对角位移 可在两个截面上加两个方向相反的单位力偶 4 4荷载作用下的位移计算及举例 一 荷载作用下内力和变形的关系 式中 M FN FQ 是实际荷载引起的内力 以使微段顺时针转动为正 1 梁和刚架 2 桁架 3 桁梁混合结构 4 拱 二 各类结构的位移公式 三 位移计算举例 例题1试求图示刚架A点的竖向位移 AV 各杆材料相同 截面抗弯模量为EI 解 1 在A点加一单位力 建立坐标系如 图2 示 写出弯矩表达式 AB段 BC段
11、2 荷载作用下 图1 的弯矩表达式 AB段 BC段 3 将以上弯矩表达式代入求位移公式 例2 计算图示刚架C端的水平位移和角位移 已知EI为常数 解 在载荷作用下 刚架的图如图所示 状态I AB柱 BC梁 求C点的水平位移 可在C点加一单位力 BC梁 AB柱 状态II 代入位移公式 得 求C点的角位移 可在C点加一单位弯矩 如图示 其计算方法与 1 相同 例2 计算桁架结点C的竖向位移 设各杆EA都相同 解1 分析内力 本问题因为桁架与载荷均对称 所有只需计算一半桁架的内力 利用体系整体平衡关系 得 支座反力 利用结点法 取A点分析 由A点的Y方向平衡得 利用三角形关系 A点X方向平衡得 拉力
12、 取D点分析 压力 2 计算位移 C点加一单位力P 1 由位移公式 为正值表示 C处的位移与虚拟力的方向相同 例题3试求图示桁架C点的竖向位移 CV 各杆材料相同 截面抗拉压模量为 图 a 图 b 解 1 在C点加一单位力 作桁架内力图 如图 b 示 2 作出荷载作用下的桁架内力图 如图 a 示 例题3试求图示半径为R的圆弧形曲梁B点的竖向位移 BV 梁的抗弯刚度EI为常数 解 1 在B点加一单位力 写出单位力作用下的弯矩表达式 2 写出单位力作用下的弯矩表达式 练习题 试求图示连续梁C点的竖向位移 CV和A截面的转角 A 截面抗弯模量为EI P C B A l 2 l 2 答案 C B A
13、l 2 l 2 M 答案 1 2 实际荷载 虚设单位荷载 3 求位移 3 试求所示悬臂梁在A端的竖向位移解 1 虚设单位荷载如图 b 2 求内力表达式 讨论 解 0 5 0 5 0 0 1 5 1 58 1 5 1 58 4 求所示桁架顶点C的竖向位移 2 求 1 5 1 5 4 50 4 74 3 00 4 42 0 95 1 50 3 求 5 求B点的竖向位移 4 5图乘法Methodofgraphmultification 一 图乘法得引入 二 图乘法适用条件及公式推导 1 适用条件 2 公式推导 此即位图乘法的公式 积分问题 转化为 求内力图的面积 形心 和竖标的问题 3 使用乘法时应
14、注意的问题1 适用条件必须满足 缺一不可 2 正负号规则 面积 与标距y0在杆件同侧 乘积为正 否则为负 a 杆件是等截面直杆 即EI 常数 b 两内力图中至少有一个是直线 c 纵距y0只能从直线图中取得 4 几种常见图形的面积和形心位置 三 使用乘法时应注意的问题 1 yo必须取自直线图形 3 当杆件为变截面时亦应分段计算 4 图乘有正负之分 弯矩图在杆轴线同侧取正号 异侧取负号 5 若两个图形均为直线图形时 则面积 纵标可任意分别取自两图形 6 图乘时 可将弯矩图分解为简单图形 按叠加法分别图乘 M图 MP图 a c d l 5 举例 解 1 作Mp图 2 作图 3 求 解 1 作Mp图
15、2 作图 3 求 例2图示为一悬臂梁 在A点作用集中荷载Fp 试求中点C的挠度 CV 解 1 作Mp图 2 作图 3 求 例3试求下列图示刚架结点B的水平位移 BH 各杆截面为矩形bh 惯性矩相等 只考虑弯曲变形的影响 解 1 绘Mp图 例题试求左图所示刚架C点的竖向位移 CV和转角 C 各杆材料相同 截面抗弯模量为 Mp图 3 求C点的转角 Mp图 6 5温度作用时的位移计算 一 由于温度改变引起的位移 静定结构温度改变并不引起内力 变形和位移 是材料自由膨胀 收缩的结果 杆件的微段 h1 h2分别为轴至上 下边缘的距离 上边缘温度上升 下边缘温度上升 沿杆截面厚度为线性分布 轴线温度 上下
16、温差 轴线温度 上下边缘的温差 曲率 伸长应变 线膨胀系数 由位移计算公式 若沿每一杆件的全长为常数 则 以温度升高为正 弯矩和温差引起的 弯矩为同一方向时 其乘积取正 反之取负 式中 例 试求右图 a所示刚架C点的水平位移 已知刚架各杆外侧温度无变化 内侧温度上升10 C 刚架各杆的截面相同且与形心轴对称 线膨胀系数为 解 在C点沿水平方向加一单位力P 1 作出相应的 图 并有 轴向上的温度上升值 式中h为截面高度 所得结果为正值 表示C点位移与单位力方向相同 杆件由于温度改变而发生的弯曲变形 该变形与由于所产生的弯曲变形方向相同 如图虚线所示 应用条件 线性小变形体系 1 功的互等定理 4 7互等定理 功的互等定理 在任一线形变形体系中 第一状态外力在第二状态位移上所作的功等于第二状态外力在第一状态位移上所作的功 即 2 位移互等定理 位移影响系数 如果作用在体系上的力是单位力 则在第一个单位力方向上 由于第二个单位力所引起的位移等于第二个单位力方向上 由于第一个单位力所引起的位移 3 反力互等定理 反力影响系数 如果结构支座发生的是单位位移 则支座1由于支座2的单位位移所引起的反
