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1、概率论与数理统计 56学时 开课系 理学院数学系教师 严彦文ywen99 个人 gltj2011 公共邮箱 Password 123456 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科 是重要的一个数学分支 在生活当中 经常会接触到一些现象 确定性现象 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象 随机现象 在一定条件下必然发生的现象 在个别实验中其结果呈现出不确定性 概率论与数理统计在经济 科技 教育 管理和军事等方面已得到广泛应用 课程简介 概率论与数理统计已成为高等工科院校教学计划中一门重要的公共基础课 通过本课程的学习 使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法 并且具备一定的
2、分析问题和解决实际问题的能力 退出 目录 前一页 后一页 课程简介 课程主要内容 概率论的基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律及中心极限定理样本及抽样分布参数估计假设检验 1随机试验 2样本空间 随机事件 3频率与概率 4等可能概型 古典概率 5条件概率 6独立性 第一章概率论的基本概念 这里试验的含义十分广泛 它包括各种各样的科学实验 也包括对事物的某一特征的观察 第一章概率论的基本概念 1 随机试验 Experiment 1随机试验 退出 前一页 后一页 目录 退出 前一页 后一页 目录 E1 抛一枚硬币两次 观察正面H Heads 反面T Tails 出
3、现的情况 E2 抛一颗骰子 观察出现的点数 E3 观察某一时间段通过某一路口的车辆数 E4 观察某一电子元件 如灯泡 的寿命 其典型的例子有 E5 观察某城市居民 以户为单位 烟酒年支出 这些试验具有以下特点 第一章概率论的基本概念 3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 2 每次试验的可能结果不止一个 并且能事先明确试验的所有可能结果 1 可以在相同的条件下重复进行 我们把满足上述三个条件的试验称为随机试验 记为E 退出 前一页 后一页 目录 一样本空间二随机事件三事件间的关系与运算 2样本空间 随机事件 第一章概率论的基本概念 退出 目录 前一页 后一页 2样本空间随机事件 一样本空
4、间 Space 定义将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间 记为S 样本空间的元素 即E的每个结果 称为样本点 也叫基本事件 E1 S1 HH HT TH TT E2 S2 1 2 3 4 5 6 E3 S3 0 1 2 3 第一章概率论的基本概念 要求 会写出随机试验的样本空间 退出 前一页 后一页 目录 2样本空间随机事件 退出 前一页 后一页 目录 E4 如果试验是测试某灯泡的寿命 则样本点是一非负数 由于不能确知寿命的上界 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果 S4 t t 0 故样本空间 2样本空间随机事件 退出 前一页 后一页 目录 E5 调查城市居民 以户为单位
5、 烟 酒的年支出 结果可以用 x y 表示 x y分别是烟 酒年支出的元数 也可以按某种标准把支出分为高 中 低三档 这时 样本点有 高 高 高 中 低 低 等9种 样本空间就由这9个样本点构成 这时 样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成 随机事件 称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件 记作A B C等等 基本事件 有一个样本点组成的单点集 必然事件 样本空间S本身 不可能事件 空集 二随机事件 第一章概率论的基本概念 退出 前一页 后一页 目录 2样本空间随机事件 例如 抛一颗骰子 观察出现的点数 第一章概率论的基本概念 事件A 2 4 6 表示 出现偶数点 事件B 1 2
6、3 4 表示 出现的点数不超过4 显然它们都是样本空间的子集 退出 前一页 后一页 目录 2样本空间随机事件 S2 1 2 3 4 5 6 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现 事件发生的定义 退出 前一页 后一页 目录 两个特殊的事件 必 件 然 事 例如 在掷骰子试验中 掷出点数小于7 是必然事件 即在试验中必定发生的事件 即样本空间常用S或 表示 不 件 可 事 能 即在一次试验中不可能发生的事件 常用 表示 而 掷出点数8 则是不可能事件 比较如下事件 A1 1 C 2 4 6 A3 3 A2 2 D 1 2 3 考虑它们何时发生 有何区别 退出 前一页 后一
7、页 目录 事件 基本事件 复合事件 相对于观察目的不可再分解的事件 两个或一些基本事件并在一起 就构成一个复合事件 事件B 掷出奇数点 如在掷骰子试验中 观察掷出的点数 事件Ai 掷出i点 i 1 2 3 4 5 6 1 包含关系 三 事件间的关系与运算 第一章概率论的基本概念 如果A发生必导致B发生 则 2 相等关系 退出 前一页 后一页 目录 2样本空间随机事件 A 1 B 1 2 3 例如 3 和 并 事件 第一章概率论的基本概念 事件发生当且仅当A B至少发生一个 退出 前一页 后一页 目录 2样本空间随机事件 第一章概率论的基本概念 4 积 交 事件 事件发生当且仅当A B同时发生
8、退出 前一页 后一页 目录 2样本空间随机事件 常用 第一章概率论的基本概念 考察下列事件间的包含关系 退出 前一页 后一页 目录 2样本空间随机事件 5 差事件 第一章概率论的基本概念 发生即 A发生B不发生 退出 前一页 后一页 目录 2样本空间随机事件 常用 6 互不相容 互斥 7 对立事件 逆事件 第一章概率论的基本概念 请注意互不相容与对立事件的区别 退出 前一页 后一页 目录 2样本空间随机事件 互斥与互逆的区别 两事件A B互斥 两事件A B互逆或互为对立事件 即A与B不可能同时发生 除要求A B互斥 外 还要求 A B S 思考 AB与A B的关系 互不相容 退出 前一页 后一
9、页 目录 n个事件互斥与两两互斥 若n个事件A1 A2 An中任意两个事件都互斥 则称这n个事件互斥 所以 若n个事件互斥 则其中任意两个事件都互斥 8 随机事件的运算规律 幂等律 交换律 第一章概率论的基本概念 结合律 分配律 DeMorgan 德摩根 定律 退出 前一页 后一页 目录 退出 前一页 后一页 目录 对于一个具体事件 要学会用数学符号表示 反之 对于用数学符号表示的事件 要清楚其具体含义是什么 也就是说 要正确无误地 互译 出来 退出 前一页 后一页 目录 例1 从一批产品中任取两件 观察合格品的情况 记A 两件产品都是合格品 若记Bi 取出的第i件是合格品 i 1 2 两件产
10、品中至少有一个是不合格品 A B1B2 问如何用Bi表示A和 A3A4A3A4如图 1 2 两个系统中令Ai表示第i个元件工作正常 Bi表示 第i个系统工作正常 试用A1 A2 A3 A4表示B1 B2 例2 1 A1A2 2 A1A2 解 1 B1 A1A2 A3A4 2 B2 A1 A3 A2 A4 第一章概率论的基本概念 例3在S4中 测试灯泡寿命的试验 事件A t t 1000 表示 产品是次品 事件B t t 1000 表示 产品是合格品 事件C t t 1500 表示 产品是一级品 则 表示 产品是合格品但不是一级品 表示 产品是是一级品 表示 产品是合格品 2样本空间随机事件 第
11、一章概率论的基本概念 例4设A B C为三个随机事件 用A B C的运算关系表示下列各事件 1 A发生 2 A发生 B与C都不发生 3 A B C都发生 4 A B C至少有一个发生 退出 前一页 后一页 目录 2样本空间随机事件 第一章概率论的基本概念 5 A B C都不发生 6 A B C不多于一个发生 7 A B C不多于两个发生 8 A B C至少有两个发生 退出 前一页 后一页 目录 2样本空间随机事件 退出 前一页 后一页 目录 练习1 甲 乙两人同时向一目标射击一次观察中靶情况 设A 甲中 B 乙中 问各表示什么事件 是否是相等事件 2 一射手向目标射击3发子弹 Ai表示第次射击
12、打中目标 i 1 2 3 试用A1 A2 A3及其运算表示下列事件 1 三发子弹都打中目标 B 2 第一发子弹打中目标而第二 第三发子弹都未打中 C 3 三发子弹恰有一发打中目标 D 4 三发子弹至少一发打中目标 E 5 三发子弹至多一发打中目标 F 3频率与概率 一 频率的定义和性质 定义 在相同的条件下 进行了n次试验 在这n次试验中 事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数 比值nA n称为事件A发生的频率 并记成fn A 第一章概率论的基本概念 退出 前一页 后一页 目录 第一章概率论的基本概念 它具有下述性质 3频率与概率 退出 前一页 后一页 目录 退出 前一页 后一页 第一章概率
13、论的基本概念 目录 在充分多次试验中 事件的频率总在一个定值附近摆动 而且 试验次数越多 一般来说摆动越小 这个性质叫做频率的稳定性 请看下面的试验 二 频率的稳定性 3频率与概率 实验者德 摩根蒲丰K 皮尔逊K 皮尔逊 nnHfn H 204840401200024000 10612048601912012 0 51810 50960 50160 5005 第一章概率论的基本概念 退出 前一页 后一页 目录 3频率与概率 退出 前一页 后一页 第一章概率论的基本概念 目录 3频率与概率 退出 前一页 后一页 第一章概率论的基本概念 目录 频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小 尽管每进行
14、一连串 n次 试验 所得到的频率可以各不相同 但只要n相当大 频率与概率是会非常接近的 因此 概率是可以通过频率来 测量 的 频率是概率的一个近似 频率 概率 3频率与概率 频率稳定值概率 事件发生的频繁程度 事件发生的可能性的大小 频率的性质 概率的公理化定义 第一章概率论的基本概念 退出 前一页 后一页 目录 3频率与概率 退出 前一页 后一页 第一章概率论的基本概念 目录 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率 下面介绍用公理给出的概率定义 1933年 前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义 柯尔莫哥洛夫提出的公理化定义虽然简单 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦 3频率与概
15、率 三 概率的定义 定义设E是随机试验 S是它的样本空间 对于E的每一个事件A赋予一个实数 记为P A 称为事件A的概率 要求集合函数P 满足下列条件 第一章概率论的基本概念 退出 前一页 后一页 目录 退出 前一页 后一页 第一章概率论的基本概念 目录 由概率的三条公理 我们可以推导出概率的若干性质 下面我们就来给出概率的一些简单性质 在说明这些性质时 为了便于理解 我们常常借助于文氏图 3频率与概率 四 概率的性质与推广 第一章概率论的基本概念 退出 前一页 后一页 目录 3频率与概率 退出 前一页 后一页 第一章概率论的基本概念 2等可能概型 目录 移项得 6 便得 7 再由 由可加性
16、第一章概率论的基本概念 退出 前一页 后一页 目录 3频率与概率 第一章概率论的基本概念 退出 前一页 后一页 目录 因为 1 P S P A P 3频率与概率 性质6在概率的计算上很有用 如果正面计算事件A的概率不容易 而计算其对立事件的概率较易时 可以先计算 再计算P A 退出 前一页 后一页 第一章概率论的基本概念 目录 3频率与概率 退出 前一页 后一页 第一章概率论的基本概念 目录 再由性质3便得 8 3频率与概率 又因 第一章概率论的基本概念 退出 前一页 后一页 目录 3频率与概率 性质9 第一章概率论的基本概念 退出 前一页 后一页 目录 例1 设P A 1 3 P B 1 21 若事件A与B互不相容 求P 2 若 求P 3 若P AB 1 8 求P 例2 A B是E中两个事件 已知P B 0 3 P AUB 0 6 求P 3频率与概率 第一章概率论的基本概念 1 加法原理 完成某件事有两类方法 第一类有n种 第二类有m种 则完成这件事共有n m种方法 3 排列 1 有重复排列 在有放回选取中 从n个不同元素中取r个元素进行排列 称为有重复排列 其总数为 五 排列组合公