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1、2.1.1椭圆的标准方程教学案例一、案例背景及教材分析：“椭圆及其标准方程”是苏教版普通高中课程标准实验教科书选修 1- 1第二章第二节的内容。本课是是圆锥曲线的起始课。它既承接了前面集合与对应、曲线与方程、圆等有关知识， 又为本章其余各节的学习在数学思想方法方面打下了基础，具有承上启下的衔接作用。通过本节课的学习，使学生理解应用坐标法求曲线方程的基本思想，为后面双曲线、抛物线方程的建立打下坚实的基础。 同时通过研究方程揭示椭圆的内在本质特性和规律，充分展示数形结合的和谐美，为下一节课研究椭圆的几何性质打好基础。二、学情分析：（1）学生的知识储备分析：学生已学习了直线和圆的方程，并初步学习了求
2、曲线方程的一般方法和步骤，但学生仍对坐标法解决几何问题存在障碍。（2）学生的数学能力分析：学生通过几何图形来发现轨迹上点的特征的能力较强，但计算能力较弱，因此在方程的推导中会遇到障碍，成为本节的难点。三、教学目标知识目标：进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导.能力目标：通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用.情感目标：通过对椭圆定义和标准方程的探讨，激发学生学习数学的积极性，培养学生运动、变化的观点、勇于探索的精神以及严谨的数学逻辑思维。四、教学重点、难点重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导； 难点：椭圆标准方程的推导；
3、五、教学方法 启发、探索、小组讨论等六、教学手段多媒体课件、一块纸板、一段细绳、两枚图钉七、教学过程环节教师活动学生活动设计意图知识回顾教师提问：1.圆的定义。2.圆的标准方程。3.圆的标准方程的推导过程。学生回答：1.平面内与定点距离之和等于定长的点的集合。2.（x-a）2 + (y-b)2 = r 23解析法得曲线方程复习已学知识，更好的学习新知。情境创设引入新知（多媒体演示） 地球绕太阳旋转运行的录像，描绘出运行轨迹图.提问： 地球绕太阳旋转的轨迹是什么图形？学生回答后， 教师点明主旨并书写课题，之后请同学们列举日常生活中所见到的椭圆形的例子.提问： 椭圆应是满足什么条件的点轨迹？学生回
4、答：1、压扁的圆、鸡蛋、天体运行轨迹、用于运油的油罐等。2、学生分组思考讨论。通过直观感知使学生从感性上认识椭圆引入新知。动手操作观察分析先用多媒体演示椭圆的画法。1.教师演示：固定绳子的两端， 用铅笔拉紧运动。2.提出问题：1）画出怎样的图形？2）符合的条件是什么？3.总结：1）得椭圆，条件是两定点 F 1 、F 2，动点 M，且MF 1 +MF 2 为常数，MF 1+MF 2F 1 F 22）定义：焦距F 1 F 2、焦点 F 1 F 2椭圆： 平面内与两定点距离之和是常数（大于F 1 F 2 ）的点的轨迹。1. 学生模仿：让学生用课前准备好的纸板、细绳、图钉按课本及教师的要求画椭圆，并调
5、整绳子两端，绳长不变观察变化情况。2.学生讨论。1）MF1+MF2 F1F2时轨迹成椭圆；2）MF1 +MF2 =F 1F2 时 轨 迹成线段；3）MF1+MF2 F1 F2时轨迹不存在通过让学生观察、动手操作、讨论，总结，引导学生逐步认识理解椭圆定义，培养学生观察分析总结能力，使学生品味成功的乐趣新知运用 加深巩固教师利用多媒体展示习题：用定义法判断下列动点的轨迹是否为椭圆。1.平面内到 F 1 (-2，0) ，F 2 (2，0)的距离之和为 3 的点的轨迹。2.平面内到F 1 (-2，0) ，F 2 (2，0)的距离之和为 6 的点的轨迹。3.平面内到F 1 (-2，0) ，F 2 (2，
6、0)的距离之和为 4 的点的轨迹学生讨论判断，教师给予订正。通过判断训练，充分理解掌握椭圆定义和条件探讨分析 推导方程前面我们已经得到椭圆的定义，那么由椭圆定义，我们能不能推导出椭圆的方程。问题1：圆的方程是如何推导？回忆必修2中圆的方程的推导过程，让学生自己动手推导出椭圆的标准方程。（学生讨论回答：建系、设点、列式、代入、化简，教师强调五步骤.）问题2：怎样给椭圆建立直角坐标系？若学生选取适当的坐标系都一样，教师多画几个坐标系，让学生选，注意要有中心在原点，焦点在y轴的坐标系；提问：为什么选取这样的坐标系，依据是什么？结合建立坐标系的一般原则使点的坐标、几何量的表达式简单化，并且从“对称美”
7、、“简洁美”的角度出发作一定的点拨；求解方程步骤:建立直角坐标系：以F1、F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy设点的坐标：设点P（x，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为 列等式：依据椭圆的定义有|PF1| + | PF2| = 2a .将坐标代入得到化简：通过移项、两次平方后得到：，思考：为使方程简单、对称、和谐，可以怎样化简这个式子？引入字母b，令，可得椭圆的标准方程为思考：焦点在y轴上的椭圆方程该如何推导?在教师的指导下让基础较好的学生思考、板演。同时教师在巡视过程中，及时发现问题给予点拨。学生思考，为什么这样建系？如何化简带两个根号的式子呢？学生进
8、行运算，教师巡查发现问题给予点拨通过几何画板的建系,再次让学生体会: “建立坐标系、设点的坐标、列等式、代坐标、化简方程” 这个推导曲线方程的过程,并能在对比中猜想出标准方程,即焦点，焦距为2c，椭圆的方程为这样类比，学生容易接受，知识层层递进。回忆圆的方程的推导过程，目的在于使学生不断复习旧知识，温故知新。体现问题由学生提出，知识也由学生得出的教学模式。引导学生去思考如何化简这个式子例题讲解例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程，椭圆两个焦点的坐标分别是（4，0）、（4，0），椭圆上一点到焦点距离的和等于10.=解题时教师详细板书，给学生一个解题的规范示例。学生思考巩固所学，加强知识的记忆。课
9、堂练习1、若动点P到两定点F1（-5,0）, F2（-5,0）的距离之和为10，则动点P的轨迹方程为 2、已知椭圆的方程为，则a=_,b=_,c=_,焦点坐标为：_,焦距为_学生独立完成检验学习成果课堂小结今天你们有什么收获吗？这节课我收获的知识是 ；我学到的一种思想方法是 ；我将进一步研究的问题是 学生总结出在知识、数学思想等方面的收获让学生自己进行小结，不但能检验学生学的如何，也能激发学生的学习欲望，同时再一次培养了学生的概括能力。最重要的一点，让学生体会到了成就感。作业布置教材P30页习题2，4题让学有余力的学生创造性得到进一步发挥。八、板书设计：椭圆的标准方程1、定义2、标准方程焦点在
10、x轴上： 焦点在y轴上：例题讲解：九、教学反思本节课主要以“教师为主导，学生为主体”的教学思想实施教学，对椭圆定义的引出，遵循感性到理性的认知过程，培养学生的观察、分析、归纳、总结能力。结合学生的学习特点，层层深入，推导标准方程。在本课教学中，首先利用数形结合，合理建标；其次，科学而简明的代入数字，化简计算过程，明确解题原理；最后用类比的学习方法引导学生代入字母求得方程。通过师生合作，学生探究，培养了学生独立获取知识的能力。习题设计不仅考虑知识的强化训练，更重视能力的培养。本节课完成得较顺利，课后学生的反应也比较好。十、不足之处当然在教学过程中也存在着问题：比如由于学生的基础情况所限，本节课的推导标准方程部分耽误了一些时间，导致后面的课堂练习题部分完成得不是很充分，需要在以后的教学中进一步做好知识的积累。总体来讲本节课师生配合默契，课堂节奏流畅，基本完成了预定的教学目标。
