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1、第2章数列 数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，也是研究离散现象常见的数学模型在我们的日常生活和科学研究中，会遇到如存款利息、购房贷款、资产折旧、人口增长、放射性物质的衰变等问题，它们都可以运用数列模型抽象为数学问题并予以解决在数学及其发展过程中，数列占有重要的地位学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义一、本章设计意图本章以现实问题为背景，体现了“现实问题情境建立数学模型解决实际问题”的教学过程通过列举生活中的大量实例，给出数列的实际背景，使学生了解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数（实际上，数列可以看作由列表法给出的函数） 等差数列和等比数列是
2、数列的两个基本模型 从等差数列与等比数列的定义入手，通过探索它们的性质和有关的一些基本数量关系（如等差数列中，与之间的数量关系；等比数列中，与之间的数量关系）以及这两种数列模型的应用，让学生进一步体会数列的特征和研究数列的基本方法因此等差数列和等比数列是本章的重点教学内容 本章教材突出了数列和函数的内在联系数列是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数（“离散型”函数），数列的通项公式则是相应函数的解析式实际上，等差数列是一次型函数，等比数列是指数型函数数列具有函数的一般性质，也可以研究它的单调性、最值等，但它没有奇偶性由于数列（作为函数）的定义域的特殊性，使得数列可以通过“递推”的方式确
3、定，这是数列不同于一般函数的基本特点教材中虽然没有给出“递推”的概念，但在等差数列和等比数列的定义及求通项公式的过程中渗透了“递推”的思想在本章的教学中，不宜将数列有关递推的内容进行拓展本章内容的设计，注意突出数学思想方法除了对数列概念的介绍充分体现了函数的思想，在探索数列的性质以及公式的推导和应用中，突出了特殊到一般的归纳思想、一般到特殊的演绎思想；在等差数列、等比数列的研究中运用类比思想；在有关等差数列、等比数列的计算中突出方程思想等例如在等差数列前n项和公式的推导及应用中，先从特殊的计算钢管总数的方法过渡到一般等差数列求和的方法，再应用获得的公式解决一些实际问题；运用类比于函数的概念、性
4、质、表达式，可以得到对等差数列和等比数列相应问题的研究；运用类比于等差数列的通项、性质，可以得到对等比数列相应问题的研究教材中对等差数列、等比数列前n项和公式的推导，实际上提供了一种数列求和的算法前者通过对钢管总数的计算获得“逆序求和”的算法，并给出这一算法的几何解释 后者运用消元思想，获得“错位相减”的算法教材重视信息技术与相关知识的整合，如利用Excel中丰富的财务函数，进行有关投资或贷款等方面的计算、作出数列的图象等，让学生感受现代技术手段在数学中的作用，促进数学学习，帮助学生认识数学的本质在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁由于数列在日常生
5、活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位 本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间二、本章教学要求本章中，我们将通过对日常生活中大量的实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探
6、索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题1 通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2 通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；3 探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式在探索和推导公式的过程中，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会特殊到一般，一般到特殊的思想方法 在应用公式的过程中，要求学生能熟练的运用方程思想进行计算并解决有关问题；4 体会等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系；5 能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能用有关知识解决相应
7、的问题；三、本章教学建议在教学中，要让学生充分体验数学知识的形成过程，尽可能地让学生经历观察、分析、猜想、抽象、概括、归纳、类比等发现和探索过程根据学生的具体情况，可以引导学生对教材中有关等差数列、等比数列的基本数量关系的问题，作相应的拓展 通过有关习题的解决，可以探索等差数列与等比数列的一些简单性质这种已有资源的挖掘和拓广，对学生自主性学习能力的培养是十分重要的在本章教学中，要重视对学生从实际问题中抽象出数列模型能力的培养，通过必要的练习，掌握等差数列、等比数列中的基本数量关系，但训练要控制难度和运算的复杂程度本章所配备的例题和习题中，有许多来源于古代数学和现代数学中的素材，如“正方形筛子”
8、、“三角形数”、“雪花曲线”等，也有来自于现实生活情景的题目，有些问题体现了数学文化价值，如第七届国际数学教育大会会徽，斐波那契数列等教学中要注意加强与实际生活的联系，同时也可以利用这些内容提高学生对学习本章内容的兴趣，调动学习积极性本章的教学大约安排12课时，具体如下：2.1 数列的概念与简单表示约2课时2.2 等差数列约4课时2.3 等比数列约4课时本章复习与小结约2课时四、 拓展资料1. 数列的通项公式通项公式是数列中一种重要的表示法 数列与函数的解析式一样，不是每个数列都可以写出它的通项公式，如素数数列就写不出它的通项公式 对于有限项的数列，一定可以写出它的通项公式例如，已知数列的前5
9、项为 0,0,0,0,7写出这个数列的一个通项公式 若选取多项式函数表达这个数列的通项公式，常用如下的方法求解：方法一 设这个数列的通项公式为 ，其中n = 1, 2, 3, 4, 5 将n = 1, 2, 3, 4, 5分别代入上式，可得关于的一次方程组 解这个方程组，得这个数列的通项公式为方法二 由于是，这个数列的通项公式可以表示为 ，其中n = 1, 2, 3, 4, 5 化简后，得这个数列的通项公式为，其中n = 1, 2, 3, 4, 5 上述两种方法中，方法一采用待定系数法，对于所选取的不是多项式类型的函数也同样适用；将方法二的结论推广为一般形式，可以得到，若已知数列的前k项为则这
10、个数列的通项公式可以表示为，其中n = 1, 2, k 实际上，这个结论就是著名的拉格朗日（Lagrage 1736 1813）内插公式 由此，我们证明了结论“有限项的数列，一定可以写出它的通项公式”的正确性 在实际工作中，当我们考察某两个变量之间的关系时，若能测得它们变化的一组数据 运用拉格朗日（Lagrage 1736 1813）内插公式，可以得到关于这两个变量之间变化关系的一个经验公式（多项式型函数） 更精细的研究，将涉及如何选择函数的类型以及回归直线理论等 2. 斐波那栔数列的通项公式斐波那栔数列是由一对兔子繁殖而引发出来的一个有趣的数学问题 它与我们熟知的黄金分割、优选法等都有着密切的联系 这对兔子的繁殖问题是：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生出小兔，此后每个月生一对小兔 如果不发生死亡，那么一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？由此得到斐波那栔数列：1,1,2,3,5,8，一般的有 下面运用化归思想给出求它的通项公式的一个方法，即由原数列构造等比数列，其中 斐波那栔数列的递推公式可以改写为，则 解得 （取一组解）是等比数列， 化简得 于是得到斐波那栔数列的通项公式为
