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1、3.1 一、选择题1对于向量a，b，c和实数，下列命题中真命题是()A若ab0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc答案B解析ab0ab，|a|2|b|2(ab)(ab)0(ab)(ab)；abaca(bc)；故A、C、D均错2以下四个命题中正确的是()A空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B若a，b，c为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量CABC为直角三角形的充要条件是0D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底答案B解析使用排除法因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面的向量来表示，故A不正确；ABC为直角三角形并不一定是0
2、，可能是0，也可能是0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.3长方体ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，则()AijkB.ijkC3i2j5k D3i2j5k答案C4给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底，d与c共线，d0，则a，b，d也可作为空间的基底；已知向量ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；已知向量组a，b，c是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是()A1B2C3D4答案D解析根据基底的概念，空间中
3、任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底显然正确，中由、共面且过相同点B，故A、B、M、N共面下面证明正确假设d与a、b共面，则存在实数，使dab，d与c共线，c0，存在实数k，使dkc，d0，k0，从而cab，c与a、b共面与条件矛盾d与a，b不共面同理可证也是正确的5已知向量a，b，c是空间的一个基底，pab，qab，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是()Aa BbCc D无法确定答案C解析apq，a与p、q共面，bpq，b与p、q共面，不存在、，使cpq，c与p、q不共面，故c，p，q可作为空间的一个基底，故选C.6给出下列两个命题：如果向量a，
4、b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；O，A，B，C为空间四点，且向量， ，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面其中正确的命题是()A仅 B仅C D都不正确答案B解析对空间任意向量c，都有c与a、b共面，则必有a与b共线，错；、不能构成空间的基底，、必共面，故存在实数，使，O、A、B、C四点共面，正确7已知i、j、k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且ijk，则B点的坐标为()A(1,1，1) B(i，j，k)C(1，1，1) D不确定答案D解析向量的坐标与B点的坐标不同8设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若x
5、yz，则(x，y，z)为()A. B.C. D.答案A解析连AG1交BC于E，则E为BC中点，()(2)，(2)，33()，OGOG1，()()，故选A.9如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有()Aa与b共线 Ba与b同向Ca与b反向 Da与b共面答案A解析由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况空间中任两个向量都是共面的，故D错10对于空间的四个向量a，b，c，d最多能构成的基底个数是()A1 B2C3 D4答案D解析最多的情况是a，b，c，d中任两个不共线，任三个不共面，从中任选三个都可做一组基底，共4个二、填空题11已知e1、e2、e3是不共
6、面向量，若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，又dabc，则、分别为_答案1解析dabc(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3，又因为de12e23e3，e1、e2、e3不共面，解得.12已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(2,1，1)，则p在基底ab，ab，c下的坐标为_，在基底2a，b，c下的坐标为_答案(，1)(1,1,1)解析由条件p2abc.设p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，a、b、c不共面，.即p在基底ab，ab，c下的坐标为(，1)，同理可求p
7、在基底2a，b，c下的坐标为(1,1,1)13(2020商丘高二检测)在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_.答案abc14三棱锥PABC中，ABC为直角，PB平面ABC，ABBCPB1，M为PC的中点，N为AC中点，以，为基底，则的坐标为_答案(，0，)解析()()，即.三、解答题15如图所示，平行六面体OABCOABC，且a，b，c.(1)用a，b，c表示向量，.(2)设G、H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.解析(1)abc.bca.(2)()()(abcb)(abcc)(cb)16如图，正方体ABCDABCD中，点E是上底面ABCD的中
8、心，求下列各式中的x、y、z的值：(1)xyz.(2)xy z.解析(1)又xyzx1，y1，z1.(2)()，又xyz.x，y，z1.17已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PAAD1.选取恰当的基底求向量、的坐标解析如图所示，因为PAADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，所以可设e1，e2，e3.以e1，e2，e3为基底则()e2e3(e3e1e2)e1e3，e2，(0,1,0)18如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)证明：A、E、C1、F四点共面；(2)若xyz，求xyz的值解析(1)证明：因为()()，所以A、E、C1、F四点共面(2)解：因为()，所以x1，y1，z，所以xyz.
