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1、2.4 一、选择题1直线yx3与抛物线y24x交于A、B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为()A48B56C64D72答案A解析由消去y得，x210x90，x1或9，或，|AP|10，|BQ|2或者|BQ|10，|AP|2，|PQ|8，梯形APQB的面积为48，选A.2设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60，则|为()A. B. C.p D.p答案B解析依题意可设AF所在直线方程为y0(x)tan60，y(x)联立，解得x与.与x轴正向夹角为60，x，yp.|.3抛物线y22px与直线axy40的一
2、个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为()A. B. C. D.答案B解析由已知得抛物线方程为y24x，直线方程为2xy40，抛物线y24x的焦点坐标是F(1,0)，到直线2xy40的距离d.4设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|等于()A9 B6 C4 D3答案B解析设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)由题意知F(1,0)，因为0，所以x1x2x33.根据抛物线定义，有|x11x21x31336.故选B. 5设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，2) B(1，2
3、)C(1,2) D(2,2)答案B解析设点A的坐标为(x0，y0)，y4x0又F(1,0)，(x0，y0)，(1x0，y0)，4，x0xy4解组成的方程组得或.点评向量与解析几何相结合，向量往往要化为坐标的形式6(08宁夏、海南)已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A. B.C(1,2) D(1，2)答案A解析过点Q作准线的垂线QM，交抛物线于P点，连结PF，此时|PQ|PF|PQ|PM|QM|，此时|MQ|最小，所以所求坐标为.7(09全国理)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C
4、的焦点若|FA|2|FB|，则k()A. B. C. D.答案D解析设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由消去y得，k2x24x(k22)4k20，x1x2，x1x24.由抛物线定义得|AF|x12，|BF|x22，又|AF|2|BF|，x122x24，x12x22代入x1x24，得xx220，x21或2(舍去)，x14，5，k2，k0，k.8过抛物线y22px(p0)的焦点F作两弦AB和CD，其所在直线的倾斜角分别为与，则|AB|与|CD|的大小关系是()A|AB|CD| B|AB|CD|C|AB|CD|，故选A.9(09全国理)设双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx
5、21相切，则该双曲线的离心率等于()A. B2 C. D.答案C解析双曲线的渐近线方程为yx.渐近线与yx21相切，x2x10有两相等根，40，b24a2，e.10(09四川理)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3 C. D.答案A解析如图|PA|PB|PF|PB|所求最小值为点F到直线l1：4x3y60的距离d2，故选A.二、填空题11已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是_米答案4解析设抛物线拱桥的方程为x22py，当顶点距水面2米时，量得水面宽8米，即抛物线过
6、点(4，2)代入方程得164pp4，则抛物线方程是x28y，水面升高1米时，即y1时，x2.则水面宽为4米12已知抛物线y24x的一条过焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴交点坐标(0,2)，则_.答案解析弦AB是过焦点F(1,0)的弦，又过点(0,2)，其方程为x1，2xy20与y24x联立得y22y40，y1y22，y1y24，.13在已知抛物线yx2上存在两个不同的点M、N关于直线ykx对称，则k的取值范围为_答案k或k()2k2，k或k.14(2020重庆理，14)已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足3，则弦AB的中点到准线的距离为_答案解析
7、如右图，设|m，|n，由得1，即1，n，m4，AB中点到准线的距离d.三、解答题15过抛物线y2x上一点A(4,2)，作倾斜角互补的两直线AB、AC交抛物线于B、C.求证直线BC的斜率为定值证明设B(x，x1)，C(x，x2)(|x1|x2|)，则kBC；kAB，kAC.AB，AC的倾斜角互补kABkAC.，x12(x22)，x1x24.kBC为定值16已知抛物线y26x的弦AB经过点P(4,2)，且OA OB(O为坐标原点)，求弦AB的长解析由A、B两点在抛物线y26x上，可设A(，y1)，B(，y2)因为OAOB，所以0.由(，y1)，(，y2)，得y1y20.y1y20，y1y236，点
8、A、B与点P(4,2)在一条直线上，化简，得，即y1y22(y1y2)24.将式代入，得y1y26.由和，得y133，y233，从而点A的坐标为(93，33)，点B的坐标为(93，33)，所以|AB|6.17设抛物线y28x的焦点是F，有倾角为45的弦AB，|AB|8，求FAB的面积解析设AB方程为yxb由消去y得：x2(2b8)xb20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x282b，x1x2b2.|AB|x1x2|8，解得：b3.直线方程为yx3.即：xy30焦点F(2,0)到xy30的距离为d.SFAB82.18已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，求A、B两点间的距离分析本题考查抛物线上的对称问题，可利用A、B两点在抛物线上，又在直线上，设出直线方程利用条件求解解析由题意可设lAB为：yxb，把直线方程代入yx23中得，x2xb30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，y1y2x1bx2b(x1x2)2b2b1.AB的中点坐标为(，b)，则该点在直线xy0上(b)0，得b1.|AB|x1x2| 3.所以A、B两点间距离为3.
