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1、2.3 一、选择题1如图,椭圆C1,C2与双曲线C3,C4的离心率分别是e1,e2,e3与e4,则e1,e2,e3,e4的大小关系是()Ae2e1e3e4 Be2e1e4e3Ce1e2e3e4 De1e2e40,b0),依题意c,方程可化为1.由得,(72a2)x22a2x8a2a40.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2.,解得a22.故所求双曲线方程为1,故选D.3若ab0,则axyb0和bx2ay2ab所表示的曲线只可能是下图中的()答案C解析方程可化为yaxb和1.从B,D中的两椭圆看a,b(0,),但B中直线有a0,b0矛盾,应排除;D中直线有a0矛盾,应排除;再看A中双
2、曲线的a0,但直线有a0,b0,也矛盾,应排除;C中双曲线的a0,b0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案B解析在直角MF1F2中,F1F2M90,MF1F230,|F1F2|2c,于是cos30,tan30,从而有|MF1|c,|MF2|c,代入|MF1|MF2|2a,得c2a,故e,故选B.5双曲线1(a0,b0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为()A(1,3) B(1,3C(3,) D3,)答案B解析由双曲线的定义得,|
3、PF1|PF2|PF2|2a,|PF1|2|PF2|4a,|PF1|PF2|F1F2|,6a2c,3,故离心率的范围是(1,3,选B.6已知F1、F2是两个定点,点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且PF1PF2,e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有()A.4 Bee4C.2 Dee2答案C解析设椭圆长半轴长为a,双曲线实半轴长为m,则22得:2(|PF1|2|PF2|2)4a24m2,又|PF1|2|PF2|24c2代入上式得4c22a22m2,两边同除以2c2得2,故选C.7(08山东)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C
4、1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由已知得椭圆中a13,c5,曲线C2为双曲线,由此知道在双曲线中a4,c5,故双曲线中b3,双曲线方程为1.8已知ab0,e1,e2分别为圆锥曲线1和1的离心率,则lge1lge2的值()A大于0且小于1 B大于1C小于0 D等于0答案C解析lge1lge2lglglglg0,lge1lge20.9动圆与圆x2y21和x2y28x120都相外切,则动圆圆心的轨迹为()A双曲线的一支 B圆C抛物线 D双曲线答案A解析设动圆半径为r,圆心为O,x2y21的圆心为O,圆x2y28x120的圆心为O2
5、,由题意得|OO1|r1,|OO2|r2,|OO2|OO1|r2r110,b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近方程为()A3x4y0 B3x5y0C4x3y0 D5x4y0答案C解析如图:由条件|F2A|2a,|F1F2|2c又知|PF2|F1F2|,知A为PF1中点,由a2b2c2,有|PF1|4b由双曲线定义:|PF1|PF2|2a,则4b2c2a2bca,又有c2a2b2,(2ba)2a2b2,4b24aba2a2b23b24ab,渐近线方程:yx.故选C.二、填空题11设中心在原点的椭圆与双曲
6、线2x22y21有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是_答案y21解析双曲线为1.双曲线的焦点为(1,0)和(1,0),离心率为.则椭圆的离心率为,又e,c1,a,b1.椭圆的方程是y21.12过双曲线1(a0,b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_答案2解析由题意得,ac,即a2acb2,a2acc2a2,c2ac2a20,e2e20.解得e2或e1(舍去)13双曲线1的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上,若PF1PF2,则点P到x轴的距离为_答案3.2解析设|PF1|m,|PF2|n(mn),
7、a3,b4,c5.由双曲线的定义知,mn2a6,又PF1PF2.PF1F2为直角三角形即m2n2(2c)2100.由mn6,得m2n22mn36,2mnm2n23664,mn32.设点P到x轴的距离为d,SPF1F2d|F1F2|PF1|PF2|,即d2cmn.d3.2,即点P到x轴的距离为3.2.14(2020北京理,13)已知双曲线1的离心率为2,焦点与椭圆1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为_;渐近线方程为_答案(4,0)yx解析双曲线焦点即为椭圆焦点,不难算出为(4,0),又双曲线离心率为2,即2,c4,故a2,b2,渐近线为yxx.三、解答题15求以椭圆1的长轴端点为焦点,且经过点P
8、(4,3)的双曲线的标准方程解析椭圆1长轴的顶点为A1(5,0),A2(5,0),则双曲线的焦点为F1(5,0),F2(5,0),由双曲线的定义知,|PF1|PF2|8,即2a8,a4,c5,b2c2a29.所以双曲线的方程为1.16直线l被双曲线1截得弦长为4,其斜率为2,求直线l在y轴上的截距解析设直线l的方程为y2xm,由得10x212mx3(m22)0.设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由韦达定理,得x1x2m,x1x2(m22)又y12x1m,y22x2m,y1y22(x1x2),|AB|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x
9、25m24(m22)|AB|4,m26(m22)16.3m270,m.17设P点是双曲线1上除顶点外的任意一 点,F1,F2分别为左、右焦点,c为半焦距,PF1F2的内切圆与边F1F2切于点M,求|F1M|F2M|之值解析如图所示P是双曲线上任一点(顶点除外),由双曲线定义得|PF1|PF2|2a,根据切线定理,可得|F1M|F2M|PF1|PF2|2a. 又|F1M|F2M|2c,当P在双曲线左支上时,|F1M|ca,|F2M|ca.当P在双曲线右支上时,|F1M|ca,|F2M|ca.故|F1M|F2M|c2a2b2.18已知直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点(1)若以AB为直
10、径的圆过坐标原点,求实数a的值,(2)是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线yx对称?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由解析(1)由消去y得,(3a2)x22ax20依题意即a且a设A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆过原点,OAOB.x1x2y1y20,但y1y2a2x1x2a(x1x2)1,由知,x1x2,x1x2.(a21)a10.解得a1且满足.(2)假设存在实数a,使A、B关于yx对称,则直线yax1与yx垂直,a2.直线l的方程为y2x1.将a2代入得x1x24.AB中点横坐标为2,纵坐标为y2213.但AB中点(2,3)不在直线yx上即不存在实数a,使A、B关于直线yx对称