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1、北京市人大附中2012届高三数学尖子生专题训练：计数原理I 卷一、选择题1某班准备从含甲、乙的名男生中选取人参加接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加,则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为( )AB CD 【答案】C2某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A504种 B960种C1008种 D1108种【答案】C3某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有()A35B70C210D105【
2、答案】B4在二项式(x2)5的展开式中，含x4的项的系数是()A10B10C5D5【答案】B5二项式的展开式中的常数项是（ )A第10项B第9项C第8项D:第7项【答案】B62012年6月21日江西抚河晶凯堤决口，数十万群众受灾，为有效地帮助灾民进行心理重建，某心理咨询中心拟从4名男咨询师和3名女咨询师中选派3名赴灾区救灾，则所选派的咨询师中既有男性又有女性的方法共有()A180种B35种C31种D30种【答案】D7三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为 ( )A720 B.144C36D12【答案】B8某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，
3、每人值班1天若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A504种B960种C1008种D1108种【答案】C9如图，在一花坛A，B，C，D四个区域种花，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为（ )A48B60C72D84【答案】D10从名男同学，名女同学中选出名同学组队参加课外活动，要求男、女同学都有，则不同的方案个数共有( ) 【答案】D11的展开式中常数项为（ ）ABCD 【答案】A12 以正方形的顶点为顶点的三棱锥的个数 ( ）A B C D 【答案】D13 (12x)5的展开式中，
4、x2的系数等于()A80B40C20D10【答案】B14 (x)(2x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A40B20 C20D40【答案】DII卷二、填空题15若，则二项式（）6的展开式中的常数项为 .【答案】16016设，则二项式的展开式中，项的系数为 【答案】6017设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11的值为_【答案】218(1)10ab (a，b为有理数)，则a22b2_.【答案】119在2011年11月12日广州亚运会开幕之前，有一个12人的旅游团在亚运会某场馆附近进行合影留念，他们先站成了前排4人、后排8
5、人的队形，现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排调2人到前排，且所调的2人在前排不相邻，则不同的调整方法数为_【答案】56020某电子器件由3个串联电阻组成，其中有A、B、C、D、E、F六个焊接点，如果某个焊接点脱落，整个电路便不通，现电路不通，则可能的焊接点脱落的方式有_种【答案】63三、解答题21把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图所示的图案中的1,2,3,4,5,6,7所处的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，求不同的摆放方法【答案】用间接法.7盆花在7个位置的全排列为A；3盆兰花在同一条直线上的排列方法有以下几类：在1,2,3，或1,4,7，或3,4,5，或5,6,7，或2
6、,4,6，每一类的排列方法数都是A，4盆玫瑰花的排列方法有A种故所求排列方法数共有A5AA4320.22在二项式()n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项【答案】二项展开式的前三项的系数分别是1，n(n1)，21n(n1)，解得n8或n1(不合题意，舍去)Tk1Cx()kC2kx4k.当4kZ时，Tk1为有理项，0k8且kZ，k0,4,8符合要求故有理项有3项，分别是T1x4，T5x，T9x2.n8，展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大T5x.23用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数
7、；(2)偶数；(3)大于3 125的数.【答案】(1)先排个位，再排首位，共有AAA=144（个）.(2)以0结尾的四位偶数有A个，以2或4结尾的四位偶数有AAA个，则共有A+ AAA=156（个）. (3)要比3 125大，4、5作千位时有2A个，3作千位，2、4、5作百位时有3A个，3作千位，1作百位时有2A个，所以共有2A+3A+2A=162（个）.24如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为an.求(1)a1，a2，a3，a4；(2)an与an1(n2)的关系式；(3)数列an的通项公式an，并证明an2n(nN*)【答案】
8、(1)当n1时，不同的染色方法种数a13，当n2时，不同的染色方法种数a26，当n3时，不同的染色方法种数a36，当n4时，分区域1,3同色与异色两种情形不同的染色方法种数a43122321118.(2)依次对区域1,2,3，n，n1染色，不同的染色方法种数为32n，其中区域1与n1不同色的有an1种，区域1与n1同色的有an种，anan132n(n2)(3)anan132n(n2)，a2a3322，a3a4323，an1an32n1，将上述n2个等式两边分别乘以(1)k(k2,3，n1)，再相加，得a2(1)n1an3223233(1)n12n13an2n2(1)n，从而an证明：当n1时，
9、a1321，当n2时，a2622，当n3时，an2n2(1)n(11)n2(1)n1nCCCn12(1)n2n22(1)n2n，故an2n(nN*)25如果n的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值【答案】Tr1C(3x2)nrr(1)rC3nr2rx2n5r，若Tr1为常数项，必有2n5r0.n，n、rN*，n的最小值为5.26已知()n(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x的项【答案】由题意知，第五项系数为C(2)4，第三项的系数为C(2)2，则有，化简得n25n240，解得n8或n3(舍去)(1)令x1得各项系数
10、的和为(12)81.(2)通项公式Tr1C()8r()rC(2)rx，令2r，则r1，故展开式中含x的项为T216x.27从8名运动员中选4人参加4100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（用数字结尾）(1）甲、乙两人必须跑中间两棒；(2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；(3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒.【答案】（1）(2）(3）28用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？(3)可组成多少个能被3整除的四位数？【答案】(1)直接法：AA300；间接法：AA300；(2)由题意知四位数个位
11、数上必须是偶数；同时暗含了首位不能是0，因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”，应优先处理；另一方面，0既是偶数，又不能排在首位，属“特殊元素”应重点对待解法一(直接法)：0在个位的四位偶数有A个；0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数(不包括0)中选一个放在首位，应有AAA个综上所述，共有AAAA156个解法二(间接法)：从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法有AA，其中第一位是0的有AA个，故适合题意的数有AAAA156个(3)各位数字之和是3的倍数的数能被3整除，符合题意有：含0、3则需1,4和2,5各取1个，可组成CCCA；含0或3中一个，均不适合题意；不含0、3，由1,2,4,5可组成A个，所以共有CCCAA96个6用心 爱心 专心
