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1、第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(一)自主学习1一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形2在RtABC中，C90，则有：(1)AB90，0A90，0B90；(2)a2b2c2(勾股定理)；(3)sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B；(4)c，c，c.3正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即，这个比值是三角形外接圆的直径2R.已知ABC的三个内角A、B、C及对应的三边a、b、c，试用向量法证明正弦定理证明(1)若ABC为直角三角形，不妨设C
2、为直角如图所示，根据正弦函数的定义，sin A，sin B，所以c2R(2R为外接圆直径)C90，sin C1，c2R.2R.（2）若ABC为锐角三角形，过A点作单位向量i，则有：ii()ii，ii0，ii，即ccos(90A)acos(90C)，csin Aasin C，.同理可证：；.(3)若ABC为钝角三角形，可仿(2)证明综上，.对点讲练已知两角和一边解三角形例1在ABC中，a5，B45，C105，解三角形分析要注意在ABC中隐含条件ABC180的运用解由三角形内角和定理知ABC180，所以A180(BC)180(45105)30.由正弦定理，得ba55；ca555()总结已知一个三角
3、形的三边和三内角这六个量中的三个量，其中至少有一个是边，可以求解其余的三个量变式训练1在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形解，b4.C180(AB)180(3045)105，c22.已知两边及其中一边的对角解三角形例2在ABC中，a2，b6，A30，解三角形分析已知三角形的两边及其中一边的对角，先判断三角形是否有解，若有解，解该三角形解a2，b6，ab，A30bsin A，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B，故B60或120.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.总结已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，
4、首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论变式训练2在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A60，a，b1，则c等于()A1 B2 C.1 D.答案B解析由正弦定理，可得，sin B，故B30或150.由ab，得AB，B30，故C90，由勾股定理得c2.已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数例3不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a5，b4，A120；(2)a9，b10，A60；(3)c50，b72，C135.解(1)sin Bsin 120，所以三角形有一解(2)sin Bsin 60，而1，所以当B为锐角时，满足sin B的角有60B9
5、0，故对应的钝角B有90B120，也满足ABsin C，所以B45，所以BC180，故三角形无解总结已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可用三角形中大边对大角定理，也可作图判断变式训练3不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a7，b14，A30；(2)a30，b25，A150；(3)a7，b9，A45.解(1)A30，absin A，故三角形有一解(2)A15090，a30b25，故三角形有一解(3)A45，bsin 45ab，故三角形有两解1利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角(2)已知两边
6、和其中一边的对角，求另一边和两角2已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.A为锐角absin Aabsin Absin Aab无解一解(锐角)课时作业一、选择题1在ABC中，下列等式中总能成立的是()Aasin Absin B Bbsin Ccsin A Cabsin Cbcsin B Dasin Ccsin A答案D解析由余弦定理知D正确2在ABC中，已知a18，b16，A150，则这个三角形解的情况是()A有两个解 B有一个解 C无解 D不能确定答案B解析因为ab，A为钝角，所有只
7、有一个解3在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于()A4 B4 C4 D.答案C解析方法一根据三角形内角和定理，A180(BC)45.根据正弦定理，b4.方法二如图，过点C作CDAB，由条件可知A45，而由CDasin 60bsin 45，得b4.4在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果ca，B30，那么角C等于()A120 B105 C90 D75答案A解析ca，sin Csin Asin(18030C)sin(30C)，即sin Ccos C.tan C.又C(0，)，C120.5在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是()Ab10，A45，C70 Ba30
8、，b25，A150Ca7，b8，A98 Da14，b16，A45答案D解析对于A，由三角形的正弦定理知其只有一解；对于B，ab，即AB，且A150，只有一解；对于C，ab，即AB，且A98，无解二、填空题6在ABC中，AC，BC2，B60，则C_.答案75解析由正弦定理，sin A.BC2AC，A为锐角，A45.C75.7在ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b2a，BA60，则A_.答案30解析b2asin B2sin A，又BA60，sin(A60)2sin A，即sin Acos 60cos Asin 602sin A，化简得sin Acos A，tan A，A30.8在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是_答案2x2解析因三角形有两解，所以asin Bba，即x2x，2x2.三、解答题9在ABC中，若a2，A30，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？解当a2a，b4时，无解；当ab或absin A，即b2或b4时，有一解；当bsin Aab，即2b4时，有两解10在锐角三角形ABC中，A2B，a、b、c所对的角分别为A、B、C，求的取值范围解在锐角三角形ABC中，A、B、C90，即30B45.由正弦定理知：2cos B(，)，故所求的范围是(，)5用心 爱心 专心
