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1、鲁教版八年级上册数学知识点鲁教版八年级上册数学知识点 第一章第一章分式分式 一 分式一 分式 1 1 分式的概念分式的概念 如果整式 A 除以整式 B 可以表示成 A 的形式 且除式 B 中含有字母 那么 B 称式子 A 为分式 其中 A叫分式的分子 B 叫分式的分母 B 注意 注意 判断一个代数式是否为分式 不能将它变形 不能约分后去判断 即使它约分后是整式 也不能说它就是整式 约分之前是分式这个式子就是分式 如 x x2 2 x x 是分式是分式 虽然约 分之后等于 x 是整式 但约分前是分式 是常数 所以 a a 不是分式不是分式而是整式 2 2 有理式 有理式 整式和分式统称有理式 整
2、式的分母中不含有字母 3 3 关于分式的几点说明关于分式的几点说明 1 分式的分母中必须含有未知数 2 分式是两个整式相除的商式 对任意一个分式 分母都不为零 a b 表示 a b c d c d 4 分式的值为零 包含两层意思 一是分式有意义 分母 0 二是分子的值为零 不 要误解为 只要分子的值为零 分式的值就是零 4 4 一般的 对分式 一般的 对分式 A A B B 都有都有 分式有意义B 0 分式无意义B 0 分式的值为 0A 0 且 B 0 分式的值大于 0分子分母同号 分式的值小于 0分子分母异号 5 5 基本性质基本性质 分式的分子和分母同乘以 或除以 同一个不为 0 的整式
3、分式值不变 3 分数线有除号和括号的作用 如 二 分式的乘除法二 分式的乘除法 1 1 分式的乘除法则分式的乘除法则 分式乘以分式 用分子的积做积的分子 分母的积做积的分母 分式除以分式 把除式的分子 分母颠倒位置后 与被除式相乘 分式的乘方是把分式的分子 分母各自乘方 再把所得的幂相除 2 2 约分约分 把一个分式的分子和分母的公因式 不为 1 的数 约去 这种变形称为约分 注意 当分式的分子分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式时 直接约分 分式的分子和分母都是多项式时 将分子和分母分解因式再约分 3 3 最简分式最简分式 一个分式的分子和分母没有公因式时 这个分式称为最简分式 约分时 一
4、般要将一个分式化为最简分式 三 分式的加减法三 分式的加减法 1 1 通分通分 利用分式的基本性质 把异分母的分式化为同分分母的过程 通分原则通分原则 异分母通分时 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母 通分步骤通分步骤 先求出所有分式分母的最简公分母 再将所有分式的分母变为最简公分 母 同时各分式按照分母所扩大的倍数 相应扩大各自的分子 最简公分母的确定方法最简公分母的确定方法 系数取各因式系数的最小公倍数 相同字母的最高次幂及 单独字母的幂的乘积 2 法则法则 同分母的分式相加减 分母不变 分子相加减 异分母的分式相加减 先通分 化 为同分母的分式 再按同分母分式的加减法法则进行计算
5、 四 分式方程四 分式方程 1 1 概念概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2 2 分式方程的解法分式方程的解法 去分母 方程两边同乘以最简公分母 将分式方程化为整式程若 遇到互为相反数时 不要忘了改变符号 按解整式方程的步骤求出未知数的值 验根 3 3 分式方程的增根分式方程的增根 在方程变形时 有时会产生不适合原方程的根即代入方程后分母代入方程后分母 的值为 的值为 的根 叫做原方程的增根 例题 m取时 方程 xm 会产生增根 或说无解 2 x 3x 3 思路 在这里增根就是 x 3 但不能直接带入方程求 m 所以要先去分母再将先去分母再将 x 3x 3 带入求带入求 mm 第二章第
6、二章相似图形相似图形 一 线段的比一 线段的比 1 1 概念概念 在同一单位长度同一单位长度下 两条线段的长度的比叫这两条线段的比 在a b 或 中 a叫比 例的前项 b 叫比例的后项 2 2 注意注意 若 a b k 说明 a 是 b 的 k 倍 两条线段的比与所采用的长度单位无关 但求比时两条线段的长度单位必须一致 两条线段的比值是一个没有单位的正数 除 a b 外 a b b a a b 与 b a 互为倒数 a b 二 比例线段二 比例线段 1 1 概念概念 四条线段a b c d中 如果 a 与 b 的比等于c 与 d 的比 即 a b c d 或 a b c d 那么 这四条线段
7、a b c d 叫做成比例线段 简称比例线段 a b c d 叫比例的项 其中 a d 叫外项 b c 叫内项 2 2 2 比例中项比例中项 当 a b b c 时 称 b 为 a 与 c 的比例中项 b ac 3 3 性质性质 内项之积等于外项之积 内项之积等于外项之积若 a b c d则 ad bc 合比性质 合比性质若 a b c d则 a b b c d d 分比性质 分比性质若 a b c d则 a b b c d d 等比性质 等比性质若 a b c d m n b d n 0 则 a c m b d n a b 合分比性质 合分比性质若 a b c d则 a b a b c d
8、c d 更比性质 更比性质若 a b c d则 c a d b 当然也就有 a c b d 反比性质 反比性质若 a b c d则 b a d c 三 形状相同的图形三 形状相同的图形 例如 两个半径不相等的圆 所有的等边三角形 所有的正方形 所有的正六边形 一个图形各点的横坐标 纵坐标都乘以或除以同一个数 则连接所得到点的图形与原图形形 状相同 四 相似三角形四 相似三角形 1 1 概念概念 对应角相等 对应边成比例的两个三角形 叫做相似三角形 相似符号为 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形 相似 A A D D B B 五 探索三角形相似的条件
9、五 探索三角形相似的条件 1 1 定义判定定义判定 对应角相等 对应边成比例对应角相等 对应边成比例 2 2 判定判定 1 1 两个角对应相等 判定判定 2 2 两边对应成比例且夹角相等 判定判定 3 3 三边对应成比例 D D O O E E E E C C B BC C 相似比相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比 2 2 全等一定相似全等一定相似 相似不一定全等相似不一定全等 全等 是相似 中相似比为1 时的特殊情况 RtRt 相似的判定 相似的判定 除上述三个外 斜边与一直角边对应成比例的两直角三角形相似 3 3 三角形相似的判定定理推论三角形相似的判定定理推论 推论一 顶角或底角相等
10、的两个等腰三角形相似 推论二 腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似 推论三 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 推论四 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似 推论五 如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分 成比例 那么这两个三角形相似 推论六 如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成 比例 那么这两个三角形相似 4 4 补充补充 射影定理射影定理 在 Rt ABC 中 ACB 900 CD 是斜边 AB 上的高 则 AC AD ABBC BD ABCD AD BD 5 5 补充补充 三角形的重心三角形的重心 概念 三角形三条中
11、线的交点中线的交点叫做三角形的重心 222 三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍 六 相似三角形的性质六 相似三角形的性质 1 1 相似三角形的三个对应角相等 三边对应成比例 2 2 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 3 3 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 七 测量旗杆的高度七 测量旗杆的高度 略略 八 相似多边形八 相似多边形 1 1 概念概念 对应角相等 对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 2 2 性质性质 性质 1 相似多边形的对应角相等 对应边成比例 性质 2 相似多边形的周长之比等于相似比 面积之比
12、等于相似比的平方 九 位似图形九 位似图形 1 1 概念概念 如果两图形不仅相似 而且对应顶点的连线相交于一点 像这样的两个图形叫做位似 图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比位似比 2 2 性质性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 3 3 探索探索 利用位似可以把一个图形放大或缩小 对应点连线都交于位似中心 对应线段平行或在一条直线上 在平面直角坐标系中 如果位似变换是以原点为位似中心 相似比为 k 那么位似图 形对应点的坐标的比等于k 或 k 第三章第三章证明证明 一一 一 定义与命题一 定义与命题 1 1 定义的概念定义的概念 能清楚地规定某一名称或
13、术语的句子叫做该名称或术语的定义 2 2 命题的概念命题的概念 一般地 判断判断一件事情的句子 叫做命题 命题必须是对某事作出判断 3 3 命题的特征命题的特征 每个命题都是由条件条件和结论结论两部分组成 条件条件是已知的事项 结论结论是由已知 事项推断出的事项 一般地 命题都可以写成 如果 那么 的形式 其中 如果 引出的部分是条件 那么 引出的部分是结论 4 4 真假命题真假命题 如果条件成立 那么结论成立 正确的命题 像这样的命题叫做真命题真命题 条件成 立时 不能保证结论总是正确的 也就是说结论不成立 错误的命题 这样的 命题叫做假命题假命题 二 证明的必要性二 证明的必要性 三 公理
14、与定理三 公理与定理 1 1 公理公理 通过长期实践总结出来 并且被人们公认的真命题叫做公理 2 2 定理定理 通过推理得到证实的真命题叫做定理 可以作为判断其它命题真假的依据 本教科书选用如下命题作为公理 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 也可以简单说成 同位角相等 两直线平行 两条平行线被第三条直线所截 同位角相等 也可以简单说成 两直线平行 同位角相等 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 三边对应相等的两个三角形全等 全等三角形的对应边相等 对应角相等 此外 等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理 例如 在等式或
15、不等式中 一 个量可以用它的等量来代替 简称为 等量代换 四 平行线的判定定理四 平行线的判定定理 五 平行线的性质定理五 平行线的性质定理 把一个命题的条件和结论交换后 就构成了一个新的命题 如果把原来的命题叫做原命题 那 么这个新的命题就叫做原命题的逆命题 一个命题是真命题 它的逆命题不一定是真命题 六 三角形内角和定理六 三角形内角和定理 三角形三个内角之和为 1800 直角三角形的两个锐角互余 关于辅助线 关于辅助线 辅助线是为了证明需要在原图上添画的线 辅助线通常画成虚线 它的作用是把分散的条件集中 把隐含的条件显现出来 起到牵线搭桥的作用 添加辅助线 可构造新图形 形成新关系 找到
16、联系已知与未知的桥梁 把问题转化 但 辅助线的添法没有一定的规律 要根据需要而定 平时做题时要注意总结 第四章第四章数据的收集与处理数据的收集与处理 一 普查和抽样调查一 普查和抽样调查 1 1 普查普查 为了一定的目的而考察对象进行的全面调查 称为普查普查 其中 所要考察的对象的 全体称为总体总体 而组成总体的每一个考察对象称为个体个体 普查的优点及缺陷普查的优点及缺陷 可以直接获得总体情况 但总体中个体数目很多时 工作量大 无法一一 考察 有时受客观条件的限制 无法对个体一一考查 有时调查具有破坏 性 不允许对个体一一考查 2 2 抽样调查抽样调查 从总体中抽取部分个体进行调查 这种调查称为抽样调查抽样调查 其中从总体中抽取的 一部分个体叫做总体的一个样本样本 样本中的个体的数目称为样本容量样本容量 二 数据的收集二 数据的收集 议一议议一议 抽样调查时应注意什么抽样调查时应注意什么 答答 抽样调查时要注意样本的代表性 广泛性和真实性 即被调查的对象不得太少 被调查对 象应是随意抽取的 调查数据应是真实的 抽样调查的可行性 抽样调查的可行性 1 抽样调查只考查总体的一部分 因此其优
