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1、2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 辽宁科技大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李 楠 2. 孙 浩 3. 曹 杰 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李 华 日期： 2006 年 9 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：易拉罐形状和尺寸的最优化模型研究摘 要本文根据最优化理论与方法、解析几何知识，计算机编程、测量
3、方法以及焊缝长度等基本理论知识解决了题目中所要求的问题。论文主要建立了三个双目标优化模型，在一定的约束条件下，一个目标是表面积最小，达到原材料最省的目的。另外一个目标是焊缝长度最短，达到易拉罐强度最大，寿命最长的目的。传统的易拉罐是“三片式”，即由罐底、罐身、罐盖三部分组成，有3条焊缝，罐盖一条，罐底一条，罐身一条。首先运用游标卡尺测量了355ml易拉罐的具体数据，并列表给出。对于圆柱体形状的易拉罐，建立了两个变量的双目标优化模型，为模型I。两个变量分别是圆柱体的半径和高。目标函数分别是表面积函数和焊缝长度函数，表面积为圆柱体的侧面积+圆柱体的两个底面积；焊缝长度为圆柱体的高加上两个底面的周长
4、。求出的半径为3.8829cm，高度为7.4950cm，总的表面积为277.5840cm2 ，总的焊缝长度为56.2887cm。半径和高的比值接近1：2，与实际测得的数据中半径和高得比值比较吻合。但是由于体积与现实中的易拉罐是相同的，该理论模型求得的半径比实际中稍微大一点，所以在体积相同的情况下，高度数值比较小，这与现实也是相符的。对于圆台体+圆柱体形状的易拉罐，建立的4个变量的双目标优化模型中，为模型II，表面积包含圆柱体的侧面积、圆柱体的底面积、圆台体的侧面积和圆台的上底面面积四部分；焊缝长度为圆柱的下底面周长+圆柱的高度+圆台的母线长+圆台的上底面周长。求得的结果是一个9.44cm高，半
5、径为3.3608cm的圆柱加上一个高度为1.6932 cm的圆锥。此时总的表面积为274.5585cm2 ，总的焊缝长度为34.3198cm。半径和高的比值近似为1：2，总高度与实际高度接近。对于模型III，建立的是7个变量的双目标优化模型。在这个模型中，假设易拉罐由4部分组成：即罐顶圆台体，罐身圆柱体，罐底圆台体和球冠。表面积包含罐顶圆台体的侧面几何上底面面积、罐身圆柱体的侧面积、罐底圆柱体的侧面积和罐底球冠的面积，焊缝长度包含罐顶圆台的上底面周长和母线长、罐身圆柱的高度、圆柱的下底面周长。求得的结果为圆柱的半径为3.8973 cm，高度为6.0681 cm，罐顶圆台的半径为1.6816 c
6、m，高度为1.8950cm，罐底圆台的高度为0.7607 cm，球冠的半径为1.9251 cm，所在球半径为2.8152cm。此时总的表面积为260.6977 cm2，总的焊缝长度为44.0370 cm。与实际数据相比较，总高度值稍低，罐身圆柱的直径稍大，罐顶圆台高度稍低，球冠的半径稍大，圆柱的半径与高度比值近似相等。对所出现误差的原因作了解释。一个是关于实测的数据，这部分存在测量误差，另外关于计算的结果，除了软件计算的误差外，只所以于实测数据存在误差一方面是由于在模型建立的时候没有考虑罐身和罐盖、罐底材质不同引起的价格不同，另外也没有考虑到美观性，还有易拉罐模具的限制等等，所有的这些因素造成
7、了实测数据与计算结果之间的误差。论文中对三个模型的灵敏度也作了详细的分析。在此基础上，详细总结了论文中所建模型的优缺点，最大的优点就是对易拉罐的最优设计有一定的参考作用，最大的缺点是由于做了一些假设，所以在实际设计易拉罐的时候不能完全参照模型的数据进行。一、 问题的提出随着经济的发展，市场竞争日益激烈，现代包装容器不再仅仅局限于玻璃、塑料瓶包装，易拉罐已经当今世界饮料包装行业中备受青睐的包装材料，除了具有美观、轻便、便于携带、不易碎，使用方便等特点外，易拉罐也因可节省能源、节约资源及可回收再利用保护环境的特点受到关注。但是目前我国易拉罐行业每年需要进口铝材十几万吨，耗费近3亿美元，这是一笔巨大
8、的费用。对于国家和企业来说设计易拉罐的形状和尺寸达到降低经济成本、获取最大经济利润是需要解决的问题。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。不同的企业采用不同的设计方案，而我们只要稍加留意就会发现在市场中较为常见的还是可口可乐公司、青岛啤酒公司采用的355毫升装的设计，它们设计的形状和尺寸几乎一样，这并非偶然，被认为是某种意义下的最优化设计。到底是不是最优化设计，如何达到最优化，就是我们在本文中需要解决的问题了。在本题中，我们要解决下列问题：1、取一个容量为355毫升的易拉罐，用游标卡尺测算出易拉罐
9、各部分的数据。表1：测量的易拉罐各部分数据直径（mm）高度(mm)厚度(mm)罐顶正圆台上底内直径54.70 外直径59.1914.73罐身66.045102.440.08罐底球冠44.9811.7052、建立模型I，假设易拉罐是一个正圆柱体，运用几何原理中正圆柱体的体积和表面积公式，并考虑易拉罐的焊缝问题而建立最优化模型，并比较建立模型的结果与实际测量的形状和尺寸是否合理。3、建立模型II，假设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，在这种情况下，如何在易拉罐的体积一定时使它所需消耗的材料最少（表面积最小），并且保证易拉罐的强度（指焊缝长度最小）的最优化模型，从而达到节约能源，
10、降低经济成本同时又能增强易拉罐的耐用性的目的。4、建立模型III，根据我们对易拉罐的观察和想象力，构建了一个由两个正圆台和一个正圆柱体组成的易拉罐优化模型，在体积为355毫升不变的情况下，设计易拉罐的形状和尺寸，使易拉罐的表面积和焊缝长度都最小，既美观、方便，又节约资源，而且寿命长，达到降低经济成本获取最大利润的目的。5、试讨论若数据出现误差，如何处理。二、 问题分析1、 对模型I的分析本模型是双目标最优化问题。为了达到获取最大利润的目的，一方面需要表面积最小，这可以达到原材料最省的目标；另一方面需要焊缝长度最短，这可以达到易拉罐寿命比较长的目标1。模型中假设易拉罐是一个正圆柱体，已知圆柱体的
11、体积是一定的，通过圆柱体的体积公式可知，即是固定的，这是模型的约束条件。圆柱体的表面积由两个圆面的表面积和柱身的侧面积三部分组成，而焊缝的长度由罐顶和罐身的焊缝长度、罐身的侧缝长度和罐身与罐底的焊缝长度三部分构成，通过对模型的求解，可得出最优的圆柱体状易拉罐的半径与高的具体数值，得出半径与高之间的比例。然后对结果进行分析，用所得出的结果与测量的具体数值进行比较，并分析原因。2、 对模型II的分析由于易拉罐在生活中不是规则的正圆柱体形状，所以在本模型中把易拉罐假设成上面部分是一个正圆台体，下面部分是一个正圆柱体，以便通过优化模型求出得解对设计易拉罐有更好的参考作用。易拉罐的体积是一定的，这是模型
12、的约束条件；易拉罐的表面积最小和焊缝长度最最短是模型的两个目标，表面积包括正圆柱体的侧面积，正圆柱体的底面积，正圆台体的上底底面积和正圆台体的侧面积；焊缝长度包括正圆台体的上底面周长，正圆柱体的下底面周长，正圆柱体的高度和正圆台体的母线长，这就是本模型的优化设计。3、对模型III的分析借鉴于现实中的易拉罐，把易拉罐假设成上部是一个正圆台体，中间是一个正圆柱体，下部是一个圆台体，底部是一个凹陷的球冠的形状。目标还是表面积最小，焊缝长度最短，约束条件除了体积约束之外，还有关于圆台和球冠的几何约束。表面积包含圆柱体的表面积、灌顶和罐顶的圆台的表面积、罐底球冠的表面积等三部分，焊缝长度包含罐顶的圆台体
13、的周长、母线长和罐底圆柱体的周长四部分，由于没有考虑到易拉罐各个部分的价格是不同的，也没有考虑到美观性，以及易拉罐模具的限制，求得的结果跟现实中的易拉罐形状难免有差距。4、试讨论如何处理数据有误差对于数据有误差，我们首先要分析误差产生的原因，如认为粗心产生的、测量仪器精确导致的、或是算法上引起的等等。进而判断误差的类型：是系统误差、随机误差还有粗大误差，然后根据误差的种类采取相应的对策。2三、基本假设1、易拉罐在温度，湿度等因素变化的时候，其形状和尺寸不随环境的影响而变化。2、不考虑易拉罐的美观性。3、假设整个易拉罐所用的材质都是相同的，即易拉罐各个部分的价格是相同的。4、在整个研究问题中不考
14、虑易拉罐的拉环扣对表面积的影响。5、假设易拉罐的罐身和罐底、罐面的厚度相同，且很薄。6、不考虑易拉罐厚度对易拉罐表面积、体积的影响。7、假设易拉罐只有三条焊缝，分别是罐底与罐身之间的连接焊缝，罐身侧缝，罐身与罐顶之间的连接焊缝。8、易拉罐焊缝看作线性，忽略其宽度。9、易拉罐的体积为定值。 四、模型的建立与求解从所要解决的问题和对问题所做的假设的出发，我们对问题1建立了模型I，对问题2建立了模型II，对问题3建立了模型III。在体积一定的情况下，分别建立关于表面积最小和焊缝长度最小的三个双目标优化模型，表面积最小是考虑到最能节省材料，让公司降低经济成本获取最大收益，而焊缝长度最小是保证易拉罐的强度（易拉罐的焊缝越少，它的强度越大，寿命越长。所以，我们要保证易拉罐的强度就要使它的焊缝最少，即焊缝的总长度最短。）。运用MATLAB6.5软件编程，求出双目标优化模型的结果，并对结果进行分析。图I-1（一）模型I的建立与求解模型I：正圆柱体
