《江苏省无锡市江阴四校2018_2019学年高二数学下学期期中试题理.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《江苏省无锡市江阴四校2018_2019学年高二数学下学期期中试题理.doc(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2018-2019学年第二学期高二期中考试数学试题(理科)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 计算:的值为 . 2. 已知复数,其中为虚数单位,则复数的实部是 . 3. 已知,则= .4. 已知复数,其中为虚数单位,则的模是 . 5. 用反证法证明“a,bN,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,应假设 . 6. 用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时,第一步中的值应取 .7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 种.8. 除以9的余数为 .9. 若,则的值为_.10. 已知不
2、等式,照此规律总结出第个不等式为 .11. 在平面几何中,的内角平分线分所成线段的比(如图所示),把这个结论类比到空间:在三棱锥中(如图所示),面平分二面角且与相交于点,则得到的结论是_ .12. 如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案种数为_.13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列,则 .14. 三角形的周长为31,三边均为整数,且,则满
3、足条件的三元数组的个数为 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知复数是纯虚数. (1)求的值;(2)若复数,满足,求的最大值.16. (本小题满分14分)(1)设,求证:;(2)已知非零实数是公差不为零的等差数列,求证: 17. (本小题满分14分)从8名运动员中选4人参加4100米接力赛,在下列条件下,各有多少种不同的排法?(1)甲、乙两人必须入选且跑中间两棒;(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒;(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒;(4)甲不在第一棒.18. (本小题满分1
4、6分)已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.(1)求的值;(2)求展开式中的项;(3)求展开式中系数最大的项.19. (本小题满分16分)已知等差数列的公差d大于0,且是方程的两根,数列的前n项和为,且(1)求数列、的通项公式;(2)设数列的前n项和为,试比较与的大小,并用数学归纳法给予证明20. (本小题满分16分)已知.(1)设,求中含项的系数;(2)化简:;(3)证明:2018-2019学年第二学期高二期中考试数学试题(理科)答案一、填空:1. 15 2. 3. 4或6 4. 5. a,b都不能被5整除6. 5 7. 30 8. 9. 1 10. 11. 12. 42
5、0 13. 3974 14. 24二、解答题:15. 解:(1)复数是纯虚数.,计算得出.的值是1.8分(2)由(1)可以知道:.设.,.可以知道:,.的最大值为3.14分注:法二:用复数的几何意义16. (1)由4分因为所以所以7分(2)(反证法)假设,则 而 由,得,即,于是,这与非零实数成公差不为零的等差数列矛盾,故假设不成立,原命题结论成立,即成立14分17. 解:(1)60 3分(2)480 6分(3)180 10分(4)1470 14分(16分)(10分)(16分)(10分)1819. 解(1)由已知得因为an的公差大于0,所以a5a2,所以a23,a59.所以d2,a11,即an
6、2n1. 2分因为Tn1bn,所以b1.当n2时,Tn11bn1,所以bnTnTn11bn1bn1,化简得bnbn1,所以bn是首项为,公比为的等比数列,即bnn1.所以an2n1,bn. 6分(2) 因为Snnn2,所以Sn1(n1)2,.下面比较与Sn1的大小:当n1时,S24,所以S2,当n2时,S39,所以S3,当n3时,S416,所以S5. 8分猜想:n4时,Sn1. 9分下面用数学归纳法证明:当n4时,已证假设当nk(kN*,k4)时,Sk1,即(k1)2, 10分那么,33(k1)23k26k3(k24k4)2k22k1 k24k4 =(k1)12S(k1)1 14分所以当nk1时,Sn1也成立由可知,对任何nN*,n4,Sn1都成立综上所述,当n1,2,3时,Sn1. 16分20. 解:(1)由所以中含项的系数为:3分(2)通项为 5分10分(如采用组合恒等式证明相应给分)- 12 -