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1、求函数值域的几种方法广东石油化工学院高州师范学院311数学(6)班 林春霞 【摘要】在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考题中，经常遇到求函数值域的问题。关于函数值域的求法，是高中数学教学中的一个难点。通过对函数的研究，我总结了求其函数值域的常见几种方法：直接观察法，分离常数法，配方法，判别式法，换元法，函数有界性法（方程法），最值法，基本不等式法，函数单调性法，树形结合法（函数图像法）。【关键词】函数值 函数值域 方法做任何事情都要讲究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方法正确，问题就容易解决。波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的
2、选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。”函数值域的问题往往涉及面广，对学生的知识综合应用能力要求高，因此成为高中数学的一个难点。所以，认真学好并掌握求函数值域的十种方法对解决函数值域问题起着至关重要的作用。在解题时，要根据函数而定。一、值域的概念。函数值域的定义:在函数 中，与自变量的值对于的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。确定函数值域的原则：函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法，求函数的值域，都要考虑定义域，函数问题必须遵循“定义域优先”的原则。1.当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数的集合。2.当函数用图像给出时，函数的值域指图像在轴上的投影所覆盖的实数
3、的集合。3.当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。二、常见函数的值域1一次函数:的值域为。2二次函数:，当时的值域为，),当时的值域为(，。3反比例函数：的值域为。4指数函数：的值域为。5对数函数：的值域为。6幂函数：的值域为，幂函数的值域为。7三角函数：正弦函数，余弦函数的值域为，正切函数的值域为，余切函数的值域为。三、求函数值域的常用方法。1直接观察法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。也就是说，利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域。对于一些比较简单的函数，如正比例函数，反比例函数，一次函数，对数函数。等等，其值域可通过观察直接得到。例，求函数
4、，的值域。解;因为，所以直接观察得出，的值域为。例，函数的值域解：因为，所以，故函数的值域为。2分离常数法：分子分母是一次函数或二次函数的有理函数，可用分离常数法。即形如或，可用分离常数法。已知分式函数,如果在其自然定义域内，值域为；如果条件定义域，采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。例：求函数的值域。解：首先化简：因为 ,所以即函数的值域是。例：求函数值域 。解：首先化简:因为所以所以即。3配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。一般先对二次函数配方，再画图观察得到函数的值域。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例：求函数（）的
5、值域。解：首先将二次函数配方，即，因为，所以，所以所以，即故函数（）的值域为。4判别式法：把函数转化成关于的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根判别式，从而求得原函数的值域。形如（，不同时为）的函数的值域，通常用此方法求解。例：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，因为，所以，解得，又，所以所以函数的值域为 例，求函数的值域. 解：两边平方整理得：(1) 因为 所以 解得： 但此时的函数的定义域由，得 由，仅保证关于的方程：在实数集有实根,而不能确保.其实根在区间上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下
6、方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。5换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、均为常数，且）的函数常用此法求解。即适用于带根式的函数。例：求函数的值域。解：由，得。令得，于是，因为，所以。故所求函数值域为。例，求的值域 解：令，则，所以函数值域为。注：利用引入的新变量，使原函数消去了根号，转化为了关于的一元二次函数，使问题得以解决。用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域。6函数有界性
7、法（方程法）：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所学的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例，求函数的值域。解：因为，所以，则由于，所以，解得。故所函数的值域为。例，求函数的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得，因为，所以（，），所以，即，故函数的值域为 7最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值，最小值求函数值的值域的方法。例，求函数的值域。解：由，解出定义域为。函数在内是连续的，在定义域内由的最大值为4，最小值为0。所以函数的值域是。例，求函数，的值域。解： 因为，所以函数在内是连续的，在定义域，的最大值为4
8、，最小值为.故所求函数值域为8基本不等式法：利用基本不等式和是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取成立的条件. 例, 求函数的值域. 解：由,则当且仅当时成立. 故函数的值域为.此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例，求函数的值域。解： 当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：9函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函
9、数的值域。例：求函数的值域。解：因为当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，所以函数在定义域上是增函数。所以，故函数的值域为。 例，求函数的值域。解：因为,而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数，易知在定义域内单调增。,，又，所以：，故所求函数值域为10树形结合法（函数图像法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例，求函数的值域。解：因为 ，所以 图1的图像如图1所示，由图1像知：函数的值
10、域为例，求函数的值域分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域解：作图像如图2所示，函数的最大值、最小值分别为和，即函数的值域为图2四、总结 上面介绍了求函数值域常用的几种方法，可以让人更清晰地了解各种方法。 本文从五个部分进行学习求函数值域的几种方法。第一部分摘要，简单概括函数值，函数值域。第二部分是值域的概念，由函数值域的定义域和确定函数值域的原则两小部分进行阐述。第三部分，常见函数的值域，我列举了7种常见函数的值域。第四部分，求函数值域的常用方法，这个部分是本文的重中之重，详细论述了直接观察法，分离常数法，配方法，判别式法，换元法
11、，函数有界性法（方程法），最值法，基本不等式法，函数的单调法，树形结合法（函数图像法）十种求函数值域的方法。求函数值域的方法多种多样，本文只详细论述了10种方法，根据函数的不同类型选用不同的方法，便于更好更快地解题。不管是解什么题，只要找到方法，运用已有的知识和经验，便能迎刃而解。人类之所以有进步，是因为不但有超群的脑力，而且有文字，懂得世代相承，精益求精，基础数学史文明中的魂宝，我们的教育要让后人承前启后，继往开来。数学组有许多奥妙，每一道数学问题地解决都会增加一份自豪感。数学影响我们的生活，我们传承数学的奥妙。参考文献【1】卫晓东、杨淑芬、何宇翔.广东省教师招聘考试专用教材学科专业知识中学数学M.广州：中山大学出版社，2013.6:117-119.【2】曲一线、李金荣、付祖建.三年高考五年模拟高考理数M.北京：教育科学出版社，2012.6：32-35.【3】金成梁.小学数学课程与教学论M.南京：南京大学出版社，2005.8：346-349.- 17 -
