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1、重庆市西南大学附属中学校2020届高三数学第九次月考试题 理（含解析）（全卷共150分，考试时间为120分钟）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效3考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则集合的真子集个数为（ ）A. 2B. 3C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，进而求出其真子集的个数【详解】因为集合，集合1，真子集个数为2317个，故选：C【点睛】本题考查了真子集
2、的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题2.我们用表示复数的实部，用表示复数的虚部，若已知复数z满足，其中是复数的共轭复数，则（ ）A. 0B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则化简z，得到复数的虚部与实部，即可得结果【详解】因为，故选：A【点睛】本题考查复数的基本概念的应用，复数的除法运算法则的应用，考查计算能力3.在等差数列中，前项和满足，则（ ）A. 7B. 9C. 14D. 18【答案】B【解析】，所以，选B.4.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”“0”“1”“9”现从中随机选出三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的
3、概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总数n4，其中能构成等差数列包含的基本事件只有一个，由此能求出概率【详解】袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”“0”“1”“9”，现从中随机选取三个球，基本事件总数n4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：（0，1，2），共有1个，所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p故选：D【点睛】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用5.若两个单位向量，的夹角为，则的最小值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【
4、分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值【详解】两个单位向量 ，的夹角为120，可得|cos120，则|k|222kk221+k+k2（k）2，可得k时，|k|的最小值为故选：B【点睛】本题考查向量数量积的定义和性质，考查了向量的模的运算，考查二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题6.已知随机变量服从正态分布且,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求再求最后求.【详解】由题得所以 .故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查正态分布和指定区间的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(
5、2)对于正态分布指定区间概率的计算，不要死记硬背，要结合正态分布图像求区间上的概率.7.若展开式二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（ ）A. 40B. 30C. 20D. 15【答案】D【解析】【分析】先根据二项式系数的性质求得n5，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得结果【详解】由展开式的二项式系数之和为2n32，求得n5，可得展开式的通项公式为 Tr+1=，令3，求得 r4，则展开式中含的项的系数是 5，故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题8.关于的不等式的解集为
6、，则的取值范围为 （ ）A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】分情况讨论，当时，求出满足条件的的值；当时，求出满足条件的的取值范围，即可得出结果.【详解】当时，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为不是恒成立，所以舍去；当时，因为的解集为，所以只需，解得;综上，的取值范围为：.故选D【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立的问题，需要用分类讨论的思想来处理，属于常考题型.9.将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像关于直线对称，则的最小正值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意根
7、据函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数为 y2sin（x2），再利用正弦函数的图象的对称性，求得，kz，由此求得的最小值【详解】将函数的图象向右平移（0）个单位，可得y2sin2（x）2sin（2x2）的图象；再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 y2sin（x2）再根据所得图象关于直线x对称，可得 2k，kz，即，故的最小正值为 ，故选：C【点睛】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题10.如图是函数的部分图像，则函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
8、【分析】由题意可知的对称轴,又在定义域内单调递增，根据零点存在性定理即可得解.【详解】根据所给的二次函数图象观察可得，它的对称轴方程为，且，由于在定义域内单调递增，且，函数的零点所在的区间是,故选B.【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.11.已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，的重心为G，内心I，且有（其中为实数），椭圆C的离心率e=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：方法一：如图，点为三角形的重心，点为三角形的内心，则，所以又因，所以，因此考点：求椭圆离心率【一题多解】方法二：特殊值法当点为椭圆短轴端点时，不妨设，则向量，也即点与点重合
9、，此时内切圆的半径为，于是，解得故选B12.对于函数和，设，若对所有的，都有，则称和互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先得出函数f（x）ex1+x2的零点为x1再设g（x）x2axa+3的零点为，根据函数f（x）ex1+x2与g（x）x2axa+3互为“零点关联函数”，利用新定义的零点关联函数，有|1|1，从而得出g（x）x2axa+3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可【详解】函数f（x）ex1+x2的零点为x1设g（x）x2axa+3的零点为，若函数f（x）ex1+x2与g（x）x2axa+
10、3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1|1，02，如图由于g（x）x2axa+3必过点A（1，4），故要使其零点在区间0，2上，则或，解得2a3，故选：D【点睛】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13.已知实数满足条件，则的最大值为_【答案】2【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【详解】作出不等式对应的平面区域，由zx+2y，得y，平移直线y，由图象可知当直线y经过点A时，直线y的截
11、距最大，此时z最大由，得，即A（0，1），此时z的最大值为z0+212，故答案为：2【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法14.在中，角所对的边分别是，若，且，则的面积等于_【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得的面积.【详解】 化解得： 即：A=B又 解得：a=b= 【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15.直线的倾斜角的取值范围是_【答案】【解析】【分析】讨论若sin0，若sin0，求得直线的斜率，由正弦函数的值域，可得k的范围，结合正切函数的图象，
12、即可得到倾斜角的范围【详解】直线，若sin0，则x3，直线的斜率不存在，倾斜角为90；若sin0，则直线的斜率k，由1sin0或0sin1，可得k1或k1，由ktan（为不等于90的倾斜角），可得4590或90135，综合以上可得，倾斜角的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，注意斜率不存在的情况，考查运算能力，属于中档题16.已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥，若为的中点，分别为上的动点(不包括端点)，且，则三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的内切球的半径为_【答案】【解析】【分析】先根据条件得到BO平面ACD；进而求出三棱锥NAMC的
13、体积的表达式，即可求出结论【详解】因为正方形ABCD的边长为2，所以：AC=4又平面ABC平面ACD，O为AC边的中点BOAC；所以BO平面ACD 三棱锥NAMC的体积y=f（x）=SAMCNO=ACCMsinACMNO=4x（2x）=（x2+2x）=（x1）2+当x=1即时，三棱锥的体积取得最大值设内切球半径为r此时解得r=故答案为：【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股
14、定理求得球的半径 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知函数=(1)求函数的单调递增区间；(2)已知在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若,，求.【答案】（1）函数的单调递增区间是（2）b=c=2【解析】【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）由,求得，利用余弦定理，结合，列方程组可求得的值.【详解】(1) =sin(3+x)cos(x)+cos2(+x)，
