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1、绝密启用前 试卷类型：A2020年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷三) 数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的
2、答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的答案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则A. B. C. D. R2已知i为虚数单位，若复数，则“”是“为纯虚数”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案
3、共有 A24种 B48种 C96种 D120种4.设函数，的零点分别为，则A B C D5与椭圆共焦点且过点P的双曲线方程是：A BC D6.设是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论组成命题，其中为真命题的个数是 A4 B3 C2 D. 17定义在R上的函数满足：，当时，则A BCD. 8.如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0），那么的值为 A B C 3 D. 42、 填空题：本大题共7小题考生作答6小题每小题5分，满分30分开始结束?输出是否（1） 必做题(913题)9. 已知非零向量
4、满足，向量的夹角为，且，则向量 与的夹角为 . 10. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值分别为 11已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 .12.已知平面区域，在区域内任取一点，则取到的点位于直线（）下方的概率为_ . 13给出下列命题： 是幂函数 函数的零点有2个 展开式的项数是6项 函数图象与轴围成的图形的面积是 若，且，则其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的编号）。APMNBCQ（2） 选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图，正的边长为2，点分别是边的中点，直线与的外接圆的交点为、Q，则线段= 15（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系
5、中，圆的极坐标方程为，过极点的一条直线与圆相交于，两点，且，则= 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分l4分）在数列中，.（I）求证：数列是等比数列；（II）设数列的前项和为，求的最小值.17（本小题满分12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现在采用分层抽样法（层内采用不放回的简单随机抽样）从甲，乙两组中共抽取3人进行技术考核.（1）求甲，乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率；（3）令X表示抽取的3名工人中男工人的人数，求X的分布列及数学期望18(本小题满分14分)
6、在如图的多面体中，平面，,，是的中点() 求证：平面；() 求证：；() 求二面角的余弦值. 19.（本小题满分12分）如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中AOB的圆心角为，半径OA为1Km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成。其中D在线段OB上，且CD/AO，设AOC=，（1） 用表示CD的长度，并写出的取值范围。（2） 当为何值时，观光道路最长？20.（本小题满分14分） 若圆C过点M（0，1）且与直线相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点 （I）求曲线E的方程； （II）若t=6，直线AB
7、的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程； （III）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线上，求证：t与均为定值。21.(本小题满分14分)已知函数 ().（）当曲线在处的切线与直线垂直时，求的值；（）求函数的单调区间.（III）求证：2020年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷三)数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1B【解析】由题设知：，故选B2 D【解析】由题设知：当时，；当为纯虚数时，得 故选D3B【解析】由题设知：，故选B4A 【解析】由指数与对数函数的图像知：，于是有，得，故选A5B【解析
8、】由题设知：焦点为 故选B6C【解析】由题设知：正确，正确，不正确，不正确，故选C7D【解析】由题设知：函数的周期为2，则当时，；函数在0，1上单调递增，由知A与B均不正确，由，知C不正确，由，故选D8B【解析】由及图象知：得，由知，由图象知，即，得， 又为正整数，故选B二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分9【解析】由题设知：，得，1089，144【解析】由题设知：依次为2，2，3； 3，5，8； 4，13，21；5，34，55； 6，89，144；112250【解析】由题设知：长方体截去棱柱分别为的中点所剩下的部分是该几何体，其中，它的体积是.12【解析】由题设
9、知：区域是以原点为中心的正方形, 直线将其面积平分, 如图示,故所求概率为.13 【解析】由题设知：符合定义，是正确命题；有一个负零点,两个(2,4)正零点, 不正确;展开式的项数是11项,不正确;当时, 当时;不正确;由的条件知：，此命题正确.14【解析】设，则,由相交弦定理可得即.15【解析】圆的直角坐标系方程为：，圆心（0,1）到直线的距离为，则弦长=.三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16【解】（I）， ，-4分由知：当时，是以-15为首项， 为公比的等比数列. -6分（II），当时，数列是单调递增数列， -10分， -12分当且仅当时，的最
10、小值是. -14分17【解】（1） 答：从甲组抽取2名，从乙组抽取1名（2）从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率为 （3）X可取值：0，1，2，3 X的分布列为 18【解】 ()证明：，. 又,是的中点， ， 四边形是平行四边形， . 2分 平面，平面， 平面. 4分() 解法1证明：平面，平面， 又，平面， 平面. 5分过作交于，则平面.平面， . 6分，四边形平行四边形，又，四边形为正方形， ， 7分又平面，平面,平面. 8分平面,. 9分解法2平面，平面，平面，又,两两垂直. 5分以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0）
11、，（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）. 6分，7分, 8分. 9分()由已知得是平面的法向量. 10分设平面的法向量为，即，令,得. 12分设二面角的大小为，则， 13分二面角的余弦值为 14分19【解】20【解】（）依题意,点到定点的距离等于到定直线的距离，所以点的轨迹为抛物线，曲线的方程为.3分（）直线的方程是,即.由及知，得和5分由得,. 所以抛物线在点处切线的斜率为. 直线的方程为,即. 线段的中点坐标为,中垂线方程为,即. 由、解得.7分 于是,圆的方程为,即 . 8分（）设,.过点的切线方程为,即.同理可得,所以,.10分又=,所以直线的方程为,即,亦即,所以.11分而,所以.13分21【解】， .2分（I）由题意可得，即 解得， .3分
