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1、黄冈市黄州区西湖中学2020年5月高三压轴考试理科数学试卷本试卷分第卷(选择题)和第卷（非选择题）两部分第卷50分，第卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.第卷（选择题 共50分）一选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的1集合的真子集的个数为 （ ）A3 B4 C7 D82复数（）2（其中i为虚数单位）的虚部等于 （ ）Ai B1 C1 D03设函数在区间上连续，则实数的值为 ( )A2 B1 C0 D34. 已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于 ( )A. 135 B. 270 C. 5
2、40 D. 12155下面四个命题：“直线a直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”；“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”；其中正确命题的序号是 ( )A B C D6已知，则 （ ）A2 B C1D07已知O，A，B，C是不共线的四点，若存在一组正实数，使= ，则三个角AOB，BOC，COA （ ）A都是锐角 B至多有两个钝角 C恰有两个钝角 D至少有两个钝角。8由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，所得的数是大于20000的偶数的概率为
3、（ ）A B C D 9如图过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于A，B，C，D， 则=4 2 1 10f (x)是定义在(0,+)上的非负可导函数 ，且满足 ，对任意的正数a b ，若a b，则必有 （ ）Aa f (a)b f (b) Ba f (a)b f (b) Ca f (b)b f (a) Da f (b)b f (a)第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11已知在平面直角坐标系中，O (0,0), M (1,), N (0,1), Q (2,3), 动点P (x,y)满足：01,01,则的最大值为12. 已知函数yf(
4、x) (xR)满足f(x3)f(x1)，且x1,1时，f(x)|x|，则yf(x)与ylog5x的图象交点的个数是 13已知1，则14若两条异面直线所成的角为600，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为15已知抛物线的方程为，直线与抛物线交于A,B两点，且以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，则弦AB的中点的轨迹方程为 ；当直线的倾斜角为时，圆的半径为 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分） 已知 （1）若，求的最小正周期； （2）若对任意时，恒成立，求的取值范围。17
5、（本小题满分12分）某大型体育网站对2020年北京奥运会部分体育竞技项目进行预测，其中进入女子羽毛球团体决赛的队伍可能是中国女羽与印尼女羽，由于奥运会女羽冠军争夺是以“五局三胜”制进行，根据以往战况，中国女羽每一局赢的概率为，倘若在比赛中，第一局印尼女羽先胜一局，在这个条件下： （1）求中国女羽取胜的概率（用分数作答）； （2）设决赛中比赛总的局数，求的分布列及（用分数作答）。18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，B = 900，D为棱BB1上一点，且面DA1 C面AA1C1C.（1）求证：D点为棱BB1的中点；（2）若二面角A A1D C
6、的平面角为600，求的值。19（本小题满分12分）设正项数列的前项和为Sn，q为非零常数。已知对任意正整数n, m，当n m时，总成立。（1）求证数列是等比数列；（2）若正整数n, m, k成等差数列，求证： 。20（本小题满分13分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON ；（2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角（R）使等式：cossin成立。21（本小题满分14分）我们知道：函数yf (x)如果存在反函数yf -1 (x)，则yf (x)的图像与yf -1 (x)图像关于直线
7、yx对称。若yf (x)的图像与yf -1 (x)的图像有公共点，其公共点却不一定都在直线yx上；例如函数f (x)。（1）若函数yf (x)在其定义域上是增函数，且yf (x)的图像与其反函数yf -1 (x)的图像有公共点，证明这些公共点都在直线yx上；（2）对问题：“函数f (x)a x (a1)与其反函数f -1 (x)logax的图像有多少个公共点？”有如下观点：观点：“当a1时两函数图像没有公共点，只有当0a1时两函数图像才有公共点”。观点：“利用（1）中的结论，可先讨论函数f (x)a x (a1)的图像与直线yx的公共点的个数，为此可构造函数F (x)a xx(a1)，然后可利
8、用F (x)的最小值进行讨论”。请参考上述观点，讨论函数f (x)ax (a1)与其反函数f -1 (x)logax图像公共点的个数。 黄冈市黄州区西湖中学2020年5月高三压轴考试参考答案一选择题1-10ACACD BDBCC二填空题11. 4. 12. 4个 13. 。 14. 24. 15. （3分）、 （2分）。三解答题16解：（1）由已知，有 （2）依题意得：17解：（1）中国女羽取胜的情况有两种：中国女羽连胜三局中国女羽在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢故中国女羽取胜的概率为故所求概率为； （2）比赛局数：的分布列为：345P18解： 1）过点D作DE A1 C 于E点，取AC的
9、中点F，连BF EF。面DA1 C面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE A1 C直线DE面AA1C1C 3分又面BA C面AA1C1C且相交于AC，易知BFAC，BF面AA1C1C由此知：DEBF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1面AA1C1C，故有DBEF ，从而有EFAA1，又点F是AC的中点，所以DB EF AA1 BB1，A1C1B1ACBA1DHEFG所以D点为棱BB1的中点； 6分2）解法1：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB面AA1B1B，过B作BHA1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 GCH，由此知CHB为二面角A A1D C的平面角；
10、 9分设AA1 2b ，ABBC ；在直角三角形A1A G中，易知 AB BG。在直角三角形DB G中，BH ，在直角三角形CHB中，tanCHB ，据题意有： tan600 ，解得：，所以 。 12分2）解法2：建立如图所示的直角坐标系，设AA1 2b ，ABBC ，A1C1B1ACBA1DyOxZ则D（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 所以， 8分设面DA1C的法向量为则 可取又可取平面AA1DB的法向量cos 10分 据题意有：，解得： 12分说明：考生的其他不同解法，请参照给分。19解： 1）因为对任意正整数n, m，当n m时，总成立。所以当2时：，即，且也适合，又0，故当2时：（非零常数），即是等比数列。 5分2）若，则。所以。 7分若，则，。 8分所以。 10分又因为。所以。综上可知：若正整数n, m, k成等差数列，不等式 总成立。当且仅当时取“”。 13分20解： 1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为： 2分易知右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为： 3分由，有： 设，弦AB的中点，由及韦达定理有： 所以，即为所求。
