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1、高考数学压轴题目1椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点()的准线与x轴相交于点,过点的直线与椭圆相交于、两点。 (1)求椭圆的方程及离心率;(2)若,求直线的方程;(3)设(),过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点,证明. (14分)2 已知函数对任意实数x都有,且当时,。(1) 时,求的表达式。(2) 证明是偶函数。(3) 试问方程是否有实数根?若有实数根,指出实数根的个数;若没有实数根,请说明理由。3(本题满分12分)如图,已知点F(0,1),直线L:y=-2,及圆C:。(1) 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1,求动点M的轨迹E的方程;(2) 过点F的直线g交轨迹E于
2、G(x1,y1)、H(x2,y2)两点,求证:x1x2 为定值;(3) 过轨迹E上一点P作圆C的切线,切点为A、B,要使四边形PACB的面积S最小,求点P的坐标及S的最小值。4.以椭圆1(a1)短轴一端点为直角顶点,作椭圆内接等腰直角三角形,试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5 已知,二次函数f(x)ax2bxc及一次函数g(x)bx,其中a、b、cR,abc,abc0.()求证:f(x)及g(x)两函数图象相交于相异两点;()设f(x)、g(x)两图象交于A、B两点,当AB线段在x轴上射影为A1B1时,试求|A1B1|的取值范围.6 已知过函数f(x)=的图象上一点B(1,b)的切线
3、的斜率为3。(1) 求a、b的值;(2) 求A的取值范围,使不等式f(x)A1987对于x1,4恒成立;(3) 令。是否存在一个实数t,使得当时,g(x)有最大值1? 7 已知两点M(2,0),N(2,0),动点P在y轴上的射影为H,是2和的等比中项。(1) 求动点P的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;(2) 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程。8已知数列an满足 (1)求数列bn的通项公式; (2)设数列bn的前项和为Sn,试比较Sn与的大小,并证明你的结论.9已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点为圆心,1为半径的圆
4、相切,又知C的一个焦点与A关于直线对称()求双曲线C的方程;()设直线与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线经过M(-2,0)及AB的中点,求直线在轴上的截距b的取值范围; ()若Q是双曲线C上的任一点,为双曲线C的左,右两个焦点,从引的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程10. 对任意都有()求和的值()数列满足:=+,数列是等差数列吗?请给予证明;AOBxPy()令试比较与的大小11. :如图,设OA、OB是过抛物线y22px顶点O的两条弦,且0,求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.(13分)12.知函数f(x)log3(x22mx2m2)的定义域为R(1)求实数m的取
5、值集合M;(2)求证:对mM所确定的所有函数f(x)中,其函数值最小的一个是2,并求使函数值等于2的m的值和x的值.13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为函数f(x)= (1). 求f(的值。 (2)。证明:f(x)在上是增函数。 (3)。对任意正数x1、x2,求证:14已知数列an各项均为正数,Sn为其前n项的和.对于任意的,都有.I、求数列的通项公式.II、若对于任意的恒成立,求实数的最大值.15.( 12分)已知点H(3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足=0,=,(1)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C;(2)过点T(1,0)作直线l与轨迹C
6、交于A、B两点,若在x轴上存在一点E(x0,0),使得ABE为等边三角形,求x0的值.16.(14分)设f1(x)=,定义fn+1 (x)=f1fn(x),an=,其中nN*.(1) 求数列an的通项公式;(2)若T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn=,其中nN*,试比较9T2n与Qn的大小.17 已知=(x,0),=(1,y),(+)()(I) 求点(x,y)的轨迹C的方程;(II) 若直线L:y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点,D(0,1),且有 |AD|=|BD|,试求m的取值范围18已知函数对任意实数p、q都满足(1)当时,求的表达式;(2)设求证:(3)设试比较与6
7、的大小19已知函数若数列:,成等差数列. (1)求数列的通项; (2)若的前n项和为Sn,求; (3)若,对任意,求实数t的取值范围.20已知OFQ的面积为 (1)设正切值的取值范围; (2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图),当取得最小值时,求此双曲线的方程. (3)设F1为(2)中所求双曲线的左焦点,若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点,且2|AB|=5|F1F|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.21、已知函数是偶函数,是奇函数,正数数列满足 求的通项公式;若的前项和为,求.22、直角梯形ABCD中DAB90,ADBC,AB2,AD,BC椭圆C以A
8、、B为焦点且经过点D(1)建立适当坐标系,求椭圆C的方程;(2)若点E满足,问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且,若存在,求出直线l与AB夹角的范围,若不存在,说明理由23、设函数 (1)求证:对一切为定值; (2)记求数列的通项公式及前n项和.24. 已知函数是定义在R上的偶函数.当X0时, =.(I) 求当X0时, 的解析式;(II) 试确定函数= (X0)在的单调性,并证明你的结论.(III) 若且,证明:|0,a1=1,an+1= f()2,求数列an的通项公式an,并证明你的结论.30、已知点集其中点列在中,为与轴的交点,等差数列的公差为1,。(1)求数列,的通项公式
9、;(2)若求;(3)若是否存在使得若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。21经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于、两点. (12分)(1)若线段的中点为,直线的斜率为,试求点的坐标,并求点的轨迹方程(2)若直线的斜率,且点到直线的距离为,试确定的取值范围.参考答案1(1)解:由题意,可设椭圆的方程为。 由已知得解得所以椭圆的方程为,离心率。(2)解:由(1)可得A(3,0)。设直线PQ的方程为。由方程组得,依题意,得。设,则, 。 由直线PQ的方程得。于是。 ,。 由得,从而。所以直线PQ的方程为或(3,理工类考生做)证明:。由已知得方程组注意,解得因,故。而,所以。2 f(x)= (2k
10、x2k+2, kZ) 略 方程在1,4上有4个实根3 x2=4y x1x2=-4 P(2,1) SMIN=4 .解:因a1,不防设短轴一端点为B(0,1)设BCykx1(k0)则AByx1 把BC方程代入椭圆,是(1a2k2)x22a2kx0|BC|,同理|AB|由|AB|BC|,得k3a2k2ka210(k1)k2(1a2)k10 k1或k2(1a2)k10当k2(1a2)k10时,(a21)24由0,得1a由0,得a,此时,k1故,由0,即1a时有一解由0即a时有三解 5 解:依题意,知a、b0abc且abc0a0且c0 ()令f(x)g(x),得ax22bxc0.(*)4(b2ac)a0
11、,c0,ac0,0f(x)、g(x)相交于相异两点 ()设x1、x2为交点A、B之横坐标则|A1B1|2|x1x2|2,由方程(*),知|A1B1|2 ,而a0, 4()21(3,12)|A1B1|(,2) 6、解:(1)=依题意得k=3+2a=3, a=3,把B(1,b)代入得b=a=3,b=1(2)令=3x26x=0得x=0或x=2f(0)=1,f(2)=233221=3f(1)=3,f(4)=17x1,4,3f(x)17要使f(x)A1987对于x1,4恒成立,则f(x)的最大值17A1987A2020。(1) 已知g(x)=0x1,33x20, 当t3时,t3x20,g(x)在上为增函数,g(x)的最大值g(1)=t1=1,得t=2(不合题意,舍去) 当0t3时, 令=0,得x=列表如下:x(0, )0g(x)极大值g(x)在x=处取最大值t=1t=3x=1当t0时,0,g(x)在上为减函数,g(x)在上为增函数,存在一个a=,使g(x)在上有最大值1。7、解:(1)设动点的坐标为P(x,y),则H(0,y),=(2x,y)=(2x,y)=(2x,y)(2x,y)=由题意得PH2=2即即,所求