《等腰三角形要点全析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等腰三角形要点全析（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等腰三角形要点全析1等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形如图14-3-1，ABC中，ABAC，则ABC是等腰三角形相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如BAC，底边和腰的夹角ABC和ACB叫底角如图14-3-2中，C90，ACBC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，A、B为底角，C为顶角【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，C为顶角它是根据两腰的位置来确定的（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小
2、于第三边）若图14-3-1中，ABACm，BCa，则2ma，即m时，才能构成三角形，否则不成立如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为225例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？a2，b3，c5；a4，b3，c2；a1，b2，c2；a2 005，b2 004，c2 008（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长解：（1）由于235，即abc，而不满足abc，不能组成三角形由于2354，即bca，所以a、b、c可以组成三角形由于122，即abc，所以a、b、c可以组成三角形由于abc，因此a、b、c
3、可以组成三角形（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为66719（cm）当腰长为7 cm时，周长为67720（cm）等腰三角形的周长为19 cm或20 cm（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm若为2 cm，则2247，不能组成三角形因此周长为77216（cm），等腰三角形的周长为16 cm2等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，ABC中，ABAC，则BC证法一：（利用轴对称）过点A作ABC的对称轴ADABAC，点A在BC的垂直平分线上又AD为ABC的对称轴，AB
4、DACD（轴对称性质）BC证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分BAC交BC于D，如图14-3-3，在ABD和ACD中ABDACD（SAS）BC【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明证法三：如图14-3-4，过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE，在ABD和ACE中，ABDACE（AAS）BDCE在RtBCD和RtCBE中，RtBCDRtCBE（HL）BC证法四：如图14-3-5，分别取AB、AC的中点E、D，连接BD、CEABAC，ADDCAC，AEBEAB，ADBEAEDC在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）BDCE在BCE和CBD中BCECBD（SSS）ABCACB【说明】
5、从以上的证法二、三、四中可以看出，要证两角相等，都是想方设法把它们放在两个三角形中，证两个三角形全等3等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合如图14-3-6，在ABC中，ABAC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了即ABC中，ABAC，若AD平分BAC，则ADBC，BDCD；若BDCD，则ADBC，BADCAD；若ADBC，则BDDC，BADCAD因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了【说明】（1）“三线合一
6、”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的如图14-3-7，在ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分BAC，因此，这三条线不重合只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明例如：ABC中，ABAC，BDAC交AC于D，如图14-3-8求证：BAC2DBC证法一：在BCD中，BDAC，BDC90DBC90C在ABC中，ABAC，ABCACBBAC180（ABCACB）1802ACB2（90C）BAC2DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AMBC于M，则AM
7、平分BAC，BAC2BAM2CAM.又BDAC交AC于D，AMBC交BC于M，DBC90C又AMBC，CAM90C，DBCCAM4等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴如图14-3-9，ABC中，ABAC，AD平分BAC，则ABC的对称轴为AD所在的直线，ABDACD过D作DEAB，交AB于E，作DFAC，交AC于F由ABDACD可知DEDF同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等因此，得到等腰三角形的一个重要结论重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线
8、段都分别对应相等5等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等例如：如图14-3-10，ABC中，ABAC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BDCE证明：ABAC，ABCACB（等边对等角）又BDAC，CEAB，BDCCEB90在BCD和CBE中，BCDCBE（AAS）BDCE或SABCABCEACBDABAC，BDCE此法较为简便同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，它们也分别对应相等6等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）例如：如图14-3-11，
9、ABC中，若BC，则ABAC证明：过点A作AD平分BAC，交BC于点D，则BADCAD在ABD和ACD中，ABDACD（AAS）ABAC因此，这一结论可直接利用【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径例如：如图14-3-12，ABC中，ABAC，BD、CE相交于O点且BECD求证：OBOC证明：ABAC，ABCACB（等边对等角）在BCE和CBD中BCECBD（SAS）BCECBD，即OBCBCOOBOC（等角对等边）【说明】证两条线
10、段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明7已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BCa，高为b作法：（1）作线段BCa；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取ADb；（4）连接AB、AC，ABC就是所求的等腰三角形【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，ABACABC为等腰三角形，如图14-3-13（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种
11、为基础进行作图的8等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形如图14-3-14，ABC中，ABBCCA，则ABC为等边三角形（2）性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60如图14-3-14中，若ABC为等边三角形，则ABC60除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等（3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60的等腰三角形是等边三角形下面证明以上两条判定判定：如图14-3-15，已知ABC中，ABC求证：ABC是等边三角形证明：BC，ABAC又ABACBCABACBC，ABC是等边三角形判定：
12、如图14-3-15，已知ABC中，ABAC，B60求证：ABC是等边三角形证明：ABAC，BC又B60，BC60又ABC180，A180（BC）60ABC，ABBCACABC为等边三角形（4）应用：例如：如图14-3-16，ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BDBCCE，求DAE的度数分析：要求DAE的度数，需分开求，先求BAC，再求DAB和CAE，由ABC为等边三角形知BAC60，又BDBC，而BCBA，则BDBA，ABD为等腰三角形，DDABABC30同理可知，CAE30解：ABC为等边三角形，ABBCAC，BACABCACB60又BDBC，BDBCABDABD，又ABCDDAB，ABC2DAB60，DAB30同理，CAE30DAEDABBACCAE306030120【说明】本题中用到了等边三角形的性质再如：如图14-3-17，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别为ABC三边上的点，且BDCEAF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P求证：PQR是等边三角形分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定要证PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等也可先证PQR60，而PQRACQQAC，又因为ACQBCF60，只需证BCFDAC，由此可联想证BCF与CAD全等证明：ABC为等边三角形，BACABCBCA60，ABBCCA又
