《高三数学（文）函数y=f(x)对称性与周期性关系人教版知识精讲（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学（文）函数y=f(x)对称性与周期性关系人教版知识精讲（通用）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学 文 高三数学 文 函数函数 y f x y f x 对称性与周期性关系对称性与周期性关系人教版人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 函数对称性与周期性关系 xfy 典型例题典型例题 1 定义在 R 上的函数 若总有成立 则函数的图象是 xf xafxaf xf 关于直线成轴对称图形 反之 若函数的图象关于直线成轴对称图形 ax xfax 则必有 xafxaf 推论 对于定义在 R 上的函数 若有 则图象关于直线 xbfxaf xf 成轴对称图形 反之亦真 2 ba x 证明 证明 若对 总有 设点 在的图Rx xafxaf 00 xfx xfy 象上 点关于的对称点 由 0
2、0 xfxax 2 00 xfxa 00 xaafxf 则点在函数的图象上 由的 2 00 xafxaaf 2 00 xfxa xfy 0 x 任意性知的图象关于直线对称 反之证明略 xfax 推论 由显然 2 2 2 t ba ft ba fxbfxaf tx ba 例 1 已知 满足且 当时 cbxxxf 2 1 1 xfxf 3 0 f0 x 比较与的大小 x bf x cf 解 解 由知关于对称 故 又由知 1 1 xfxf xf1 x2 b3 0 f 则在递减 在上递增 3 c xf 1 1 当时 即0 x123 xx 2 3 xx ff xx cfbf 当时 即0 x1230 xx
3、 2 3 xx ff xx cfbf 例 2 函数的图象关于直线对称 且时 则当 xfy 1 x 0 x x xf 1 时 的解析式为 2 x xf 解 解 依条件 设 则 2 1 1 xfxfxfxf 2 x 0 2 x 0 2 x 故 2 1 2 1 2 xx xfxf 例 3 若的图象关于直线对称 则 xaxxf2cos2sin 8 x a A B C D 22 11 解 解 由 8 8 xfxf 得 8 2sin 8 2cos 8 2sinxxax 8 2cosxa 2 4 cos 2 4 sin xax 8 2sin 8 2cos 2 4 sin 2 4 cos xax xax 即
4、8 2sin 8 2cos 8 2cos 8 2sin xaxxax 8 2sin 8 2 cos 8 2sin 8 2 cos xxxxa 1 a 例 4 设对任意 满足且方程恰有 6 个不同的 xfRx 3 3 xfxf 0 xf 实根 则此六个实根之和为 A 18B 12C 9D 0 解 解 依条件知图象关于直线对称 方程六个根必分布在对称轴两侧 xf3 x3 x 且两两对应以 3 0 点为对称中心 故 所以632 435261 xxxxxx 选 A 1863 621 xxx 例 5 设满足 1 2 当时 是增函数 定义域 xf 2 xfxf 1 x xf 则下列不等式成立的是 Rx A
5、 1 arccos 3 1 log 0 3 fff B 1 arccos 0 3 1 log 3 fff C 0 1 arccos 3 1 log 3 fff D 3 1 log 0 1 arccos 3 fff 解 解 由条件知图象关于直线成轴对称 xf1 x 2 0 ff 4 2 3 1 log 3 fff 又及时递增 1 arccos ff 1 x xf 故选 C 2 4 fff 2 对称性与周期性的关系 1 若函数在 R 上的图象关于两条直线与对称 则 xfy ax bx ab 为 R 上的周期函数 xf 2 若函数在 R 上的图象关于直线与点对称 则 xfy ax cb ab 为 R
6、 上的周期函数 xf 证 证 1 因图象关于及对称 则 xfy ax bx 2 xafxf 故得证 2 xbfxf 22 2 2 2 xabfxabfxafxf 2 由图象关于对称 有 xfy ax 2 xafxf 又由图象关于点对称 有 xfy cbb xx 2 xbxc yy 2 2 即 2 xbfy 2 2xbfyc 2 2xbfxfc 以代有 xa 2xcxabfxaf2 22 2 由 和 22 2 2 xabfcxafxf 以代有xab 22x 44 2 22 xabfcxabf 又由 式 得证 4 xabfxf 特别地 图象关于直线对称的偶函数必是周期函数ax 0 a 推论 定义在
7、 R 上的函数满足 xf xafxaf 0 a 1 当为偶函数时 是以为一个周期的周期函数 xf xfa2 2 当为奇函数时 是以为一个周期的周期函数 xf xfa4 证 证 1 2 xfxfxaafxaafaxf 2 3 4 axafaxf 3 axaf 2 axf 2 axafaxafaxf xfxf 例 1 已知定义在实数集 R 上的函数满足 1 2 xf xfxf 3 当时 求时 的解 4 xfxf 2 0 x1 2 xxf 4 6 x xf 析式 解 解 由 1 2 知 对任 4 xfxf 4 6 x 则 0 2 4 x 2 0 4 x 1 4 4 4 2 xxfxfxf 例 2 已
8、知定义在实数集 R 上的函数满足 1 2 xf xfxf 3 当时解析式 求上的解析式 2 2 xfxf 2 0 x12 xy 0 4 x 解 解 设 2 0 4 4 2 xx 4 2 2 2 2 xfxfxfxf 721 4 2 xx 当时 则 2 4 x 4 2 x72 xxf 当时 则 0 2 x 2 0 x12 xxf 又为偶函数 知 xf xfxf 从而 0 2 12 2 4 7 2 xx xx xf 另法 当时 0 2 x 2 0 x121 2 xxxfxf 当时 2 4 x 2 0 4 x1 4 2 4 xxfxf72 x 例 3 函数定义在 R 上 且对一切满足 xfRx 2
9、2 xfxf 设 问方程在区间中至少有几个 7 7 xfxf 0 0 f0 xf 1000 1000 实根 解 解 依条件为函数的周期 均为的根 10 27 2 xf4 x10 x0 xf 因此在区间上至少有二个根 10 0 1000 1000 1000 990 980 990 990 1000 由周期性可知也为的根1000 x0 xf 所以方程在区间中至少有0 xf 1000 1000 4011 1 10 1000990 2 例 4 若偶函数 满足 1 图象关于直线对称 2 在区间 xfRx ax 0 a 上是减函数 求证以为最小正周期 0 a xfa2 证 证 依条件知为函数的周期 假设函
10、数还存在比更小的周期 2 a2 xf xfa2b 且ab220 2 2 axfbxfxf 令 则bx2 22 0 2 baffbf 1 若 则与在上是减函数矛盾aba 220 22 0 baff xf 0 a 2 若 即时 与在baa220 ab 20 2 2 0 bfbff xf 上是减函数矛盾 所以是的最小正周期 0 aa2 xf 例 5 已知是定义在实数集 R 上的偶函数 是 R 上的奇函数 又知 1 xf xg 是常数 2 试求的值 af 3 a 1 xfxg 1999 f 分析 分析 条件 2 即 即关于点对称 1 1 xfxf xf 0 1 又由是偶函数 故是以为周期的周期函数 x
11、f xf4 解 解 由条件 2 知 令 则 1 1 xfxf tx 1 2 tftf 故 即为以 4 为周期的周期函数 又由 2 tf 2 4 tftftf xf 所以344991999 afff 3 34499 1999 模拟试题模拟试题 答题时间 50 分钟 一 选择题 每小题 5 分 共 50 分 1 函数的定义域为 A 函数的定义域为 B 43 1 2 xx xf 2 axxg 若 则实数的取值范围是 BAa A B 12 a12 a C D 21 a21 a 2 函数在区间上递减 则实数的取值范围是 56 log 2 5 0 xxy 1 mmm A B C D 5 3 4 2 4 1
12、 2 1 3 已知 且 则满足 Ryx xyyx 3232yx A B C D 0 yx0 yx0 yx0 yx 4 定义在 R 上的奇函数为减函数 设 给出下列不等式 xf0 ba 1 0 afaf 2 0 bfbf 3 bfafbfaf 4 bfafbfaf 其中正确的不等式序号是 A 1 2 4 B 1 4 C 2 4 D 1 3 5 偶函数在上单调递减 则与的大小关 log bxxf a 0 2 bf 1 af 系为 A B 1 2 afbf 1 2 afbf C D 不能确定 1 2 afbf 6 已知定义域为 R 的函数满足有 且 xfRba bfafbaf 0 xf 若 则 2
13、1 1 f 2 f A 2B 4C D 2 1 4 1 7 已知定义在 R 上的偶函数在区间上为增函数 且 则不等式 xf 0 0 3 1 f 的解集为 0 log 8 1 xf A B C D 2 1 0 2 2 2 1 0 2 1 2 1 8 已知函数是 R 上的偶函数 且满足 当时 xf1 1 xfxf 2 1 x 则 xxf 2 5 2005 f A 0 5B 1C 1 5D 5 1 9 函数是 0 2 上的增函数 函数是偶函数 则下列结论中 xfy 2 xfy 正确的是 A B 2 7 2 5 1 fff 2 5 1 2 7 fff C D 1 2 5 2 7 fff 2 7 1 2
14、 5 fff 10 设 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 当时 xf xg0 x 且 则不等式的解集是 xgxfxgxf 0 0 3 g xgxf0 A B 3 0 3 3 0 0 3 C D 3 3 3 0 3 二 填空题 每小题 4 分 共 24 分 11 定义在 R 上的函数满足 则 xf2 2 1 2 1 xfxf 8 2 8 1 ff 8 7 f 12 已知函数 则 0 3 0 log 2 x xx xf x 4 1 ff 13 设 且 那么函数的最大值是 0 x0 y 2 1 2 yx 184 log 2 5 1 xyxu 14 已知为偶函数 为奇函数 它们的定义域都为 当时
15、xf xg 0 x 它们的图象如下图 则不等式的解集为 xg xf 0 15 已知二次函数 若在区间内至少存在12 2 24 22 ppxpxxf 1 1 一个实数 使 则实数的取值范围是 c0 cfp 16 设函数 给出下列命题 cbxxxxf 1 时 为奇函数0 c xfy 2 时 方程只有一个实数根0 b0 c0 xf 3 的图象关于点对称 xfy 0 c 4 方程至多两个实数根0 xf 上述四个命题中所有正确的命题序号为 三 解答题 共 76 分 17 已知集合 集合 2 3 xxA 2 3 sin22cos 2 1 AxxaxyyB 其中 设全集 求实数的取值范围 a 6 RI AB
16、 a 18 求函数的值域 满分 12 分 2cos 4cos3sin 2 x xx y 19 已知两个函数 168 2 Rkkxxxf xxxxg452 23 1 若都有成立 求的取值范围 3 3 x xgxf k 2 若都有成立 求的取值范围 满分 12 分 3 3 21 xx 21 xgxf k 20 已知奇函数 12 22 x x aa xf Rx 1 确定的值 并证明在 R 上为增函数 a xf 2 若方程在上有解 证明 满分 12 分 txf 0 0 3 1 tf 21 已知函数满足 其中 且 xf 1 log 1 2 xx a a xf a 0 a1 a 1 对于函数 当时 求实数的取值 xf 1 1 x0 1 1 2 mfmfm 范围 2 当时 的取值范围恰为 求的取值范围 满分 2 x4 xf 0 a 14 分 试题答案试题答案 一 1 A 2 D 3 B 4 B 5 C 6 B 7 C 8 A 9 B 10 D 二 11 7 12 13 0 14 15 16 9 1 3 0 3 2 3 3 三 17 解 A 23 x 232 x 6 5 6 A B 6 5 6 2 3
