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1、高三数学第一轮复习讲义 直线与平面平行【高考要求】 1掌握空间直线和平面的位置关系；2掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化 3掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义；4掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化【知识点归纳】 1直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ，（3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类符号表示为: 2 线面平行的判定定理：判定方
2、法图形符号语言直线与平面平行定义：若一直线与一平面没有公共点，则直线与平面平行。aba=aa若平面外一直线与平面内一直线平行，则平面外这直线平行于平面。a b aba若两个平面平行，则其中一直线平行于另一平面。baa aa一平面外的两条平行线中，若有一条平行于平面，则另一条直线也平行于平面。a、babab3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式： 【基础训练】（1）、表示平面，a、b表示直线，则a的一个充分不必要条件是A、，aB、b，且abC、ab且bD、且a； （ ）（2）已知直线及平面 具有下列哪个条件时, 成立?
3、 答 A.且 B.且C.与成等角 D.且 （ ）（3）空间四边形的两对角线, 则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是 .（4） 四面体被平行于的平面所截(如图9-9), 其中 则当四边形面积最大时,等于 ( ) A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.1:3（5） 若是两条异面直线, 则存在唯一确定的平面, 满足 ( ) A.且 B.且C.且 D.且（6）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A异面B相交C平行D不能确定【典型例题】【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BC
4、E.【例2】 如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F.求证：EF平面ABCD.【例3】 已知正四棱锥PABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58.（1）求证：直线MN平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.【例4】 如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在直线AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a，（0a）求证： MN平面CBE求MN的长度当a为何值时，MN的长度最小分析：证明直线与平面平行的基本方法是，在平面内找一
5、条直线与平面外的已知直线平行【巩固练习】1.a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是（ ）A.过A有且只有一个平面平行于a、b B.过A至少有一个平面平行于a、bC.过A有无数个平面平行于a、bD.过A且平行a、b的平面可能不存在2.设有平面、和直线m、n，则m的一个充分条件是 （ ）A.且m B.=n且mnC.mn且n D.且m3.（2020年北京，3）设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 （ ）若m，n，则mn 若，m，则m 若m，n，则mn 若，则A.B.C.D.4.设D是线段BC上的点，BC平面，从平面外一定点A（A
6、与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_.5.在四面体ABCD中，M、N分别是面ACD、BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_.6. 如图9-11, 四面体被一平面所截, 截面是一个矩形. (1)求证: 平面; (2)求异面直线和所成的角. 7. 如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与交于点P，求证：P是MN的中点.8.如下图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，侧面PBC内有BEPC于E，且BE= a，
7、试在AB上找一点F，使EF平面PAD.9.如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN平面PBC.10.已知RtABC的直角顶点C在平面内，斜边AB，AB=2，AC、BC分别和平面成45和30角，则AB到平面的距离为_.参考答案【基础训练】（1）（答：D）（答：线段B1C）。）（答：D）（8）解析：设=l，a，a，过直线a作与、都相交的平面，记=b，=c，则ab且ac，bc.又b，=l，bl.al.答案：C例1.证法一：过M作MPBC，NQBE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ.MPAB，NQAB，MPNQ.又NQ= BN=CM=MP，MPQN
8、是平行四边形.MNPQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，MN平面BCE.证法二：过M作MGBC，交AB于点G（如下图），连结NG.MGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BCE.又=，GNAFBE，同样可证明GN平面BCE.又面MGNG=G，平面MNG平面BCE.又MN平面MNG.MN平面BCE.特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.证法一：分别过E、F作EMAB于点M，FNBC于点N，连结MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC.EM
9、BB1，FNBB1.EMFN.又B1E=C1F，EM=FN.故四边形MNFE是平行四边形.EFMN.又MN在平面ABCD中，EF平面ABCD.证法二：过E作EGAB交BB1于点G，连结GF，则=.B1E=C1F，B1A=C1B，=.FGB1C1BC.又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD.而EF在平面EFG中，EF平面ABCD.评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行. （1）证明：PABCD是正四棱锥，ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.ADBC，ENAN=BNND.又BNND=PMMA，ENAN=PM
10、MA.MNPE.又PE在平面PBC内，MN平面PBC.（2）解：由（1）知MNPE，MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则PEO为PE与平面ABCD所成的角.由正棱锥的性质知PO=.由（1）知，BEAD=BNND=58，BE=.在PEB中，PBE=60，PB=13，BE=，根据余弦定理，得PE=.在RtPOE中，PO=，PE=，sinPEO=.故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.证明（1）：作MPAB交BC于P，作NQAB交BE于Q，连结PQ，依题意易证CMPBNQ，所以MPNQ，从而MNPQ是平行四边形，MNPQ，从而
11、得MN平面CBE（2）由（1）知MN=PQ=，由CM=BN=a,CB=AB=BE=1，得AC=BF=，CP=，BQ=，MN=PQ=（3）由（2）有：MN=所以，当a=时，MN取最小值（即M，N分别在AC，BF的中点时，MN的长度最小）另解：（1）建立空间直角坐标系如图，则M（又平面CBE的一个法向量 又点M平面CBE，平面CBE（2）由两点距离公式得|【巩固练习】1. 解析：过点A可作直线aa，bb，则ab=A.a、b可确定一个平面，记为.如果a，b，则a，b.由于平面可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在.答案：D答案：D解析：显然正确.中m与n可能相交或异面.考虑长
12、方体的顶点，与可以相交.答案：A解析：解法类同于上题.答案：解析：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由=得MNAB，因此，MN平面ABC且MN平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD分析 从已知条件中寻求平行关系, 可望突破. 解 (1) 截面是一个矩形, 又平面, 平面，平面, 而平面，平面平面，.平面, 故平面.(2) 由(1)知, , 同理, . 截面是一个矩形, , 从而异面直线和所成的角为.证明：连结AN，交平面于点Q，连结PQ.b，b平面ABN，平面ABN=OQ，bOQ.又O为AB的中点，Q为AN的中点. a，a平面AMN且平面AMN=PQ，aPQ.P为MN的中点.评述：本题重点考查直线与平面平行的性质. 解：在面PCD内作EGPD于G，连结AG.PA平面ABCD，CDAD，CDPD.CDEG.又ABCD，EGAB.若有EF平面PAD，则EFAG，四边形AFEG为平行四边形
