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1、湖南省长郡中学2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文（含解析）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】现根据题意，求出集合M，再利用交集的定义求出【详解】因为，解得x0，所以，又因为所以故选C【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于简单题.2.设，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.【详解】，则，故，选B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题。3.已知差数列1，
2、3成等差数列，1，, 4成等比数列，则的值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式以及性质，转化求解即可【详解】因为1，a1，a2，3成等差数列，得a1+a24，又因为1，b1，b2，b3，4成等比数列，可得b224，且1，b2，4同号，所以b22， ，故选：A【点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质与思维的严谨性，属于基础题4.若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，（，），又因为，故sin=sin（）-=sin（）cos-cos（）sin= ,故选A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通
3、过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.5.下列命题中，错误命题是（ ）A. “若，则”的逆命题为真B. 线性回归直线必过样本点的中心C. 在平面直角坐标系中到点和的距离的和为2的点的轨迹为椭圆D. 在锐角中，有【答案】C【解析】【分析】利用四种命题是真假判断选项A的正误；回归直线方程的性质判断B的正误；椭圆的定义判断C的正误；三角形的性质以及正弦函数的单调性判断D的正误；【详解】选项A：“若，则”的逆命题为：若，则显然是真
4、命题；选项B：线性回归直线必过样本点的中心，所以B正确；选项C：在平面直角坐标系中到点和的距离的和为2的点的轨迹为线段，所以C不正确；选项D：在锐角中，有，所以，可得，所以D正确；故选C.【点睛】本题主要考查数学的基本概念：命题、回归直线、轨迹、解三角形，是基本知识的考查，属于基础题.6.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，又由，结合函数的单调性分析可得答案【详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，有，又由在上单调递增，则有，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇
5、偶性的应用，属于基础题7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由三视图可知几何体是如图的四棱锥，由正视图可得四棱锥底面四边形中几何量的数据，再由侧视图得几何体的高，把数据代入棱锥的体积公式计算【详解】由三视图知：几何体是四棱锥S-ABCD，如图：四棱锥的底面四边形ABCD为直角梯形，直角梯形的底边长分别为1、2，直角腰长为2；四棱锥的高为，几何体的体积V故选A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及所对应几何量的数据是解题的关键8.我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟
6、大创举,这个伟大创举与我国古老的算法“辗转相除法”实质一样如图的程序框图源于“辗转相除法”,当输入,时,输出的（ ）A. 30B. 6C. 2D. 8【答案】C【解析】执行循环得: ,结束循环,输出,选C.9.若函数(其中，)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论【详解】根据已知函数
7、其中，的图象过点，可得，解得：再根据五点法作图可得，可得：，可得函数解析式为：故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选：B【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题10.已知，若恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知得出，的约束条件，画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，再根据最值给出的取值范围.【详解】由题意得，的约束条件.画出不等式组，表示的可行域如图所示：在可行域内平移直线，当直线经过与的交点时，目标函数有最大值
8、.恒成立，即，即：，解得，故选D.【点睛】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解11.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于、（在轴上方）两点，若，则实数的值为（ ）A. B. 3C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是、，过B作于由抛物线的定义结合题中的数据，可算出中，得，即可求解【详解】设A、B在l上的射影分别是、，过B作于由抛物线的定义可得出中，得，解得故选：B【点睛】本题考查了抛物
9、线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了转化思想，是中档题12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由关于轴对称的函数为， 令，得， 则方程在上有解， 作出与的图象，如图所示，当时，函数与的图象在上必有交点，符合题意，若，若两函数在上必有交点，则，解得，综上可知，实数取值范围是，故选B. 点睛：本题主要考查对数函数、指数函数的图象的判断等基础知识,意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,列出关于参数的方程,从而求出参数的值;二是利用特殊点法来判断图象.本
10、题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”,即可轻松破解.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为_【答案】6【解析】【分析】抽到的最大学号为48，由系统抽样等基础知识即可得最小学号.【详解】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号.故答案为
11、：6【点睛】本题考查了系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题14.平面向量与的夹角为，则_【答案】【解析】【分析】由平面向量模的计算公式，直接计算即可.【详解】因为平面向量与的夹角为，所以，所以;故答案【点睛】本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.15.如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面，则M点的轨迹长度为_【答案】【解析】分析】取的中点，的中点，连接， 可得：四边形是平行四边形，可得.同理可得 可得面面平行，进而得出点轨迹【详解】如图所示，取的中点，的中点，连接，可得：四边形是平行四边形，.
12、同理可得：平面平面，点是正方形内的动点，若平面.点在线段上点的轨迹长度故答案为【点睛】本题考查了面面平行的判定定理与线面平行的判断,属于中档题证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.16.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是_【答案】【解析】【分析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得在此基础上可得，再由基
13、本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值【详解】如图，设，则,在和中，分别由余弦定理可得，两式相加，整理得，由及正弦定理得，整理得，由余弦定理的推论可得，所以把代入整理得，又，当且仅当时等号成立，所以，故得所以即面积的最大值是故答案为【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在
14、中，角，所对的边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）设数列满足，其前项和为，若，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由题意结合三角形内角和为可得.由余弦定理可得，结合勾股定理可知为直角三角形，从而可得，；（2）结合（1）中的结论可得 ，由此可列出 ，从而可得到关于实数k的方程，解方程可得，再根据题意以及可得出或【详解】（1）由已知，又，所以.又，所以，所以，所以直角三角形，且，所以.（2）由题意知， .由题意可知 ，由，得，所以，所以，所以或.【点睛】本题把数列与三角函数相结合，考查余弦定理的应用，数列求和，考查计算能力，属于中档题18.在平行四边形中，过点作的垂线，交的延长线于点，.连结，交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置，如图2.（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）证明，推出，得到平面BFP，然后证明平面平面BCP（2）解法
