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1、湖南省长沙市长郡中学2020届高三数学下学期二模考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求解不等式可得，据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正确即可.【详解】求解不等式可得，则：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则|z|=（）A. B. C. 1D. 【
2、答案】B【解析】试题分析：由得，所以，故答案为B考点：复数的运算3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的特点，可知（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，再由相关性的强弱可比较出大小关系。【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关；故，；，；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故，因此，故选：C【点睛】相关系数：当r0时，表明
3、两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关；r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4.已知向量，若为实数，则（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】C【解析】和平行，故，解得.5.在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与圆相切，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】符合条件的渐近线方程为，与圆相切，即d=r，代入公式，即可求解【详解】双曲线C的渐近线方程为，与圆相切的只可能是，所以圆心到直线的距离d=，得，所以，故选B。【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查分析推理，计算化简的能力，属基础题
4、。6.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】设此圆锥的底面半径为r,高为h,则.7.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】C【解析】【分析】由条件利用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论【详解】函数sin（2x）sin2（x），故把函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，故选：C【点睛】本题主要考查二倍角公式和两角和的正弦公式，yAsin（x+）的图象变换规律，熟记变换原则是关键，属于基础题8.
5、设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程【详解】函数，若为奇函数， 可得，所以函数，可得，； 曲线在点处的切线的斜率为：5， 则曲线在点处的切线方程为：即 故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力，较为基础9.如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的阴影部分是三个半径为3的扇形，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出三角形总面积，空白面积，然后得阴影部分
6、面积，由几何概型的面积型概率公式求出答案.【详解】解：三角形总面积因为三个扇形半径相等，且圆心角之和为180，所以空白面积所以阴影部分面积所以向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率故选：B.【点睛】本题考查了几何概型的面积型，属于基础题.10.若，且，则的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】利用求出，平方可得，从而可求.【详解】因为，所以，因为，所以，所以有，平方可得；，因为，所以，所以.故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，利用倍角公式等求值时，注意公式的多样性.11.如图，在下列三个正方体中，均为所在棱的中点，过作正方体的截面在各正方体中，直线与
7、平面的位置关系描述正确的是A. 平面的有且只有；平面的有且只有B. 平面的有且只有；平面的有且只有C. .平面的有且只有；平面的有且只有D. 平面的有且只有；平面的有且只有【答案】A【解析】【分析】连结，根据面面平行的判定定理可证平面平面，进而可得平面；都可以根据线面垂直的判定定理，用向量的方法分别证明，即可证明平面；从而可得出结果.【详解】连结，因为均为所在棱的中点，所以，从而可得平面，平面；根据，可得平面平面；所以平面；设正方体棱长为，因为均为所在棱的中点，所以，即；又，即；又，所以平面；设正方体棱长为，因为均为所在棱的中点，所以，即；又，即；又，所以平面；故选A【点睛】本题主要考查线面平
8、行与线面垂直的判定，灵活掌握判定定理即可，属于常考题型.12.已知函数，若关于的方程只有两个不同的实根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题，先求出的函数解析式，再画出其图像，由数形结合可得结果.【详解】，画出函数图像，因为关于的方程有两个不同的实根，所以故选D【点睛】本题考查了函数性质，解析式的求法以及函数的图像，求其解析式以及画出函数图像是解题的关键，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题每小题5分.13.已知函数那么_【答案】25【解析】【分析】按照分段函数中自变量的范围代入相应的解析式.【详解】由已知得f（-3）2（-3）5，从而f（f（-3）f（
9、5）5225【点睛】本题考查函数值求法，是基础题，解题时要认真审题14.已知，满足不等式，则最大值为_.【答案】11【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，求得目标函数的最大值，即可得到答案.【详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数，可化为直线，当直线过点A时，目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题15.已知直
10、线与圆相交于两点，若，则_【答案】1【解析】【分析】根据圆心到直线的距离与半径和弦长的关系求出的值即可【详解】解：圆：，化为：，圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离为，即，解得：故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题16.在锐角中，角所对的边为，若且，则的取值范围为_.【答案】【解析】【详解】因为,所以可化为：又，所以，所以，解得：由正弦定理得：，又所以，所以在锐角中，,所以所以.所以的取值范围为【点睛】本题主要考查了三角恒等变形及正弦定理，还考查了两角和的正弦公式，考查计算能力及三角函数的性质，属于中档题。三、解答题：共70分.解答应写出文字说明
11、、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.设数列的前项和为，且（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据和项与通项关系求解即可，（2）先化简，再根据裂项相消法求和.【详解】（1）因为，所以，所以，即.因为，所以，所以.则数列是以首项为3，公比为3的等比数列，故.（2）因，所以 【点睛】本题考查由和项求通项以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18.如图，点在以为直径的上运动，平面，且，点分别是、的中点（1）求证：；（2）若，求点平面的距离
12、【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明平面可得，再结合即可得出平面，故而；（2）取中点，过作于，则可证平面，从而即为所求【详解】（1）证明：PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，AB是圆的直径，BCAC，又ACPA=A，BC平面PAC，又PC平面PACBCPC，DE是PBC的中位线，DEBC，PCDE，PA=AC，D是PC的中点，ADPC，又ADDE=D，PC平面ADE，又AE平面ADE，PCAE（2）解：取AC中点F，过F作FMAB于M，D，F分别是PC，AC的中点，DFPA，又DF平面PAB，PA平面PAB，DF平面PAB，D到平面PAB的距离等于F到平面PAB的距离P
13、A平面ABC，FM平面ABC，FMPA，又FMAB，PAAB=A，FM平面PAB，F到平面PAB的距离为线段FM的长在RtABC中，AB=2AC=2，AC=，C到AB的距离为=，又F为AC的中点，FM=点D到平面PAB的距离为【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质，点到平面的距离计算，属于中档题19.某书店为了了解销售单价（单位：元）在内的图书销售情况，从2020年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据按照,，,分成6组，制成如图所示的频率分布直方图,已知样本中销售单价在内的图书数是销售单价在内的图书数的2倍（1）求出与，再根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均
14、数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样方法从销售单价在8，20内的图书中共抽取40本，求单价在6组样本数据中的图书销售的数量；（3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率【答案】（1）见解析；（2）6本；（3）【解析】【分析】（1）先求出与，再根据直方图求出平均值； （2）根据分层抽样是按比例抽样可得结果； （3）用列举法和古典概型概率公式求出结果【详解】（1）样本中图书的销售单价在内的图书数是，样本中图书的销售单价在内的图书数是，依据题意，有，即，根据频率分布直方图可知，由得 根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为=0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85=14.9（元）（2）因为销
