湖南省2020届高三数学上学期第三次月考试题 理(含解析)新人教A版(通用)

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1、湖南省岳阳县一中2020届高三年级第三次月考试卷数学理【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查,突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查;侧重于知识交汇点的考查。注重双基和数学思想数学方法的复习,注重运算能力思维能力的培养。在考查学生基础知识的同时,考查学生的能力。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.【题文】1. 设复数,若,则 ( )A B C D【知识点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算L4【答案】【解析】B 解析:

2、因为,所以,故选B.【思路点拨】先利用两个复数代数形式的乘法法则求出,由于它为实数,可得,由此求得x的值【题文】2. 下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( ) A. B. C. D.【知识点】利用导数研究函数的极值;函数奇偶性的性质B12 B4【答案】【解析】D 解析:由题可知,B、C选项不是奇函数,A选项单调递增(无极值),而D选项既为奇函数又存在极值故选D.【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件,即可得出结论【题文】3. 在中,则等于( )A.B.C.D.【知识点】正弦定理C8【答案】【解析】D 解析:由正弦定理有,为锐角,所以=.故选D.【思路点拨】由正弦定理可求得,再由,可得为锐角,

3、运算求得结果【题文】4. 已知为等差数列,其前n项和为Sn,若,则下列各式一定为定值的是( )A.B.C.D. 【知识点】等差数列的性质;等差数列的前n项和D2【答案】【解析】C 解析:定值,,故选C.【思路点拨】利用等差数列的前n项和,得到为定值,再利用等差数列的性质即可【题文】5. 已知,命题,则( )A是假命题; B是假命题; C是真命题; D.是真命题; 【知识点】命题的真假的判断;命题的否定.A2【答案】【解析】D 解析:恒成立,则在上单调递减,则恒成立,所以是真命题,故选D.【思路点拨】先对原函数求导,再利用单调性判断可知是真命题,然后再写出其否定命题即可。【题文】6. 设等比数列

4、的前 项和为,若 则 =( )A. 2 B. C. D.3【知识点】等比数列的性质D3【答案】【解析】B 解析:,故选B.【思路点拨】根据等比数列的性质得到成等比列出关系式,又表示出S3,代入到列出的关系式中即可求出的值【题文】7. 函数是 ( ) A最小正周期为,值域为的函数 B最小正周期为,值域为的函数C最小正周期为,值域为的函数 D最小正周期为,值域为的函数【知识点】三角函数的周期;三角函数的值域.C3【答案】【解析】C 解析:,最小正周期为,因为,所以,即值域为,故选C.【思路点拨】先把原函数化简整理,再利用周期公式求解即可,然后求出值域。【题文】8. 如图,面积为8的平行四边形对角线

5、,与交于点,某指数函数,经过点,则 ( )A.B.C.D.【知识点】指数函数的图像与性质B6【答案】【解析】A 解析:设点,则点坐标为,又,平行四边形的面积,又平行四边形的面积为8,故选A.【思路点拨】首先设点设点,则点坐标为,又;然后根据平行四边形的面积是8,求出t的值,代入求出a的值即可【题文】9. 已知,且成等比数列,则的最小值是A. 1 B. C. D. 【知识点】等比数列的性质D3【答案】【解析】C 解析:因为成等比数列,则由,则所以当且仅当时取等号,所以,的最小值是,故选C.【思路点拨】依题意成等比数列,可得,再利用对数的运算法则结合基本不等式,即可求出xy的最小值【题文】10.

6、已知函数,若对于任意,都有成立,则实数m的取值范围是( )A.B. C.D.【知识点】函数的单调性.B3【答案】【解析】A 解析:由题意可得对恒成立因为所以当时函数在R上是减函数,函数的值域为故(1)当时函数在R上是增函数,函数的值域为故 (2)由(1)(2)知,故选A.【思路点拨】先把原函数分离常数,结合对恒成立,然后对m分类讨论即可。【题文】二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分【题文】11. 已知集合,则实数的取值范围是 .【知识点】补集、并集的运算.A1【答案】【解析】 解析:,且,可得,故答案为。【思路点拨】先根据已知条件求出B的补集,再根据可求结果。【题文】12. 数列中

7、,则 .【知识点】数列的递推式.D1【答案】【解析】 解析:,故答案为。【思路点拨】由数列的递推式依次计算即可。【题文】13. 已知,则= .【知识点】两角和的正切公式.C5【答案】【解析】 解析:,又,则【思路点拨】先由解出,最后可得结果。【题文】14. 平面向量满足,则向量与的夹角为 【知识点】平面向量的数量积的运算;向量的夹角;向量的模.F2 F3【答案】【解析】 解析:,又,所以,所以向量与的夹角为,故答案为。【思路点拨】先根据已知条件结合向量的夹角公式计算出,再求夹角即可。【题文】15. 设函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,则的范围是 .【知识点】函数的图象B8【答案】【解析】

8、 解析:当时.图象如下图一, 当时.图象如下图二,据图知的图象有三个不同交点,则满足【思路点拨】讨论a的取值范围,作出两个函数的图象,利用数形结合即可得到结论【题文】三、解答题:本大题共6个小题,共75分,解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】16. (本小题满分12分)在正项等比数列中, 公比,且满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前n项和为,当取最大值时,求的值.【知识点】数列的求和;等比数列的通项公式D3 D4【答案】【解析】(1);(2) 解析:,是正项等比数列,.(2),且为递减数列当当取最大值时,【思路点拨】(1)利用等比数列的性质和通项公式即可得出;(2)利

9、用等差数列的前n项和公式、二次函数的单调性即可得出【题文】17(本小题满分12分)在中,内角所对的边分别是. 已知,.(1)求的值;(2)求的面积.【知识点】解三角形;三角函数中的恒等变换应用C7 C8【答案】【解析】(1);(2) 解析:(1)因,故. 2分因,故. 4分由正弦定理,得. 6分(2). 8分 . 10分则的面积为. 12分【思路点拨】(1)ABC中,利用同角三角函数的基本关系求出sinA,再由正弦定理求出b(2)利用公式求得cosB,sinC的值,再利用三角形面积公式即可。【题文】18(本小题满分12分)设约束条件所确定的平面区域为.(1)记平面区域的面积为Sf(t),试求f

10、(t)的表达式(2)设向量,在平面区域(含边界)上,当面积取到最大值时,用表示,并求的最大值.【知识点】简单的线性规划.E5【答案】【解析】(1)f(t)t2t;(2) 解析:(1)由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP,如图所示,其面积Sf(t)SOPDSAOBSECD,而SOPD121.SOABt2,SECD(1t)2,所以Sf(t)1t2(1t)2t2t.(2)由得所以Sf(t)t2t,则当时面积取到最大值. 点坐标为由线性规划知识,直线经过可行域中点时取到最大值,所以的最大值也为【思路点拨】(1)先由线性约束条件画出平面区域,进而求出面积即可;(2)由已知条件可用x,y表示出,由

11、线性规划知识,直线经过可行域中点时取到最大值,所以的最大值也为。【题文】19. (本小题满分13分)已知(1)求的最小值和的最大值;(2)若,问是否存在满足下列条件的正数t,使得对于任意的正数都可以成为某个三角形三边的长?若存在,则求出的取值范围;若不存在,请说明理由.【知识点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法;函数的值域B1 B3【答案】【解析】(1),(2)存在满足题设条件. 解析:(1)(2分)由于,当x=1时等号成立. (4分)故即x=1时,f(x)的最小值.(6分)又.故时,g(x)的最大值.(8分)(2), 若能构成三角形,只需对恒成立.(10分)由(1)知(11分)(12分)

12、综上,存在满足题设条件. (13分)【思路点拨】(1)先考虑,再说明函数与在(-,1上均为减函数,在1,+)上均为增函数,从而求出函数的最小值(2)利用构成三角形的条件,转化为恒成立问题利用(1)的结论可确定【题文】20. (本小题满分13分)若数列的前项和为,对任意正整数都有. (1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项和【知识点】数列的求和;对数的运算性质;数列与不等式的综合B7 D4 D5【答案】【解析】(1);(2) 解析:(1)由,得,解得 2分由 , 当时,有 , 3分得:,4分数列是首项,公比的等比数列5分,6分(2)由(1)知7分所以9分当为偶数时,11分当为奇数时,所以13分【思路点拨】(1)由,得,解得,当时,有,两式相减可得数列是首项,公比的等比数列,进而得到通项公式;(2)根据条件得到的通项,然后对n分类讨论即可得到.【题文】21. (本小题满分13分)已知函数,其中为常数.(1)讨论函数的单调性;(2)若存在两个极值点,求证:无论实数取什么值都有,【知识点】利用导数求函数的单调区间。B12【答案】【解析】(1) 当时在区间上单调递增当时在上单调递减,在上单调递增, (2)见解析。解析:(1)函数的定义域为

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