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1、湖南省长沙市雅礼中学2020届高三数学上学期月考试题（一）理（含解析）本试卷分第I卷(选择题)和第I卷(非选择题)两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数的共轭复数满足：，则复数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由得出，利用复数的除法法则求出，利用共轭复数的概念可求出复数.【详解】，因此，故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合,若,则a的取值范围为( )A. B.
2、C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出集合的数轴表示,利用数轴解题.【详解】画出集合A,B的数轴表示,因为,所以,故选B.考点：集合包含关系判断及其应用3.在中,(+)=|2,则的形状一定是A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】由(+)=|2,得(+)=0,即(+)=0,2=0,A=90.即的形状一定是直角三角形.本题选择C选项.4.我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”既代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定出
3、来，类似的不难得到（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：通过类比推理的方法，得到求值的方法：列方程，求解（舍去负根）即可.详解：由已知代数式求值方法，列方程，求解，舍负根. 可得 解得（舍） 故选C.点睛：类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理.通过类比推理考核研究问题的深度、思维散发情况和观察的仔细程度.5.展开式中的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将二项式表示为，得出其通项，令的指数为零，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项.【详解】，展开式通项为，令，得，因此，二项式展开式中的常数项为，故选：A
4、.【点睛】本题考查二项式展开式中指定项系数的计算，解题的关键就是写出二项展开式的通项，根据指数求出参数的值，进而求解，考查计算能力，属于中等题.6.给出三个命题：直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过举反例可判断出命题的正误；利用平面与平面平行的性质定理以及直线与平面平行的性质定理可判断出命题的正误；通过实例判断出命题的正误.【详解】对于命题，如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题错误；对于命题，如下图所示，平
5、面平面，且、分别为、的中点，过点作交平面于点，连接、.设是的中点，则，平面，平面，平面.同理可得平面，平面平面.又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，命题正确；对于命题，如下图所示，设是异面直线、的公垂线段，为上一点，过点作，当点不与点或点重合时，、确定的平面即为与、都平行的平面；若点与点或点重合时，则或，命题错误.故选：D.【点睛】本题考查线线、线面、面面平行关系的判定与性质，解题时要注意这三种平行关系的相互转化，考查推理能力与空间想象能力，属于中等题.7.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是()A. s?B. s?C. s?D. s?【答案】C【解析】试题分
6、析：模拟执行程序框图，的值依次为，因此（此时），因此可填，故选C.考点：程序框图及循环结构.8.若，使得成立是假命题，则实数取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得知，全称命题“，”是真命题，利用参变量分离法得出，然后利用基本不等式求出的最小值，可得出实数的取值范围.【详解】因为，使得成立是假命题，所以，恒成立是真命题，即，恒成立是真命题，当时，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，实数的取值范围是，故选：A.【点睛】本题考查利用特称命题的真假求参数的取值范围，在求参数的取值范围时，可灵活利用参变量分离法，转化为函数的最值求解，考查运算求解能力，属于中等
7、题.9.圆锥的母线长为，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设轴截面的中心角为，过圆锥顶点的截面的顶角为，且，由过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，明确能取到，从而明确轴截面的中心角为的范围，进而得到结果.【详解】设轴截面的中心角为，过圆锥顶点的截面的顶角为，且过圆锥顶点的截面的面积为：，又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，故此时，故圆锥底面半径r侧面展开图的中心角为弧度故选：A.【点睛】本题考查圆锥侧面展开图扇形圆心角的计算，解题时要弄清楚圆锥底面圆的周长与侧面展开图扇形的互相相等来建立等量关
8、系，考查空间想象能力，属于中等题.10.已知是定义在实数集上的奇函数，为非正的常数，且当时，.若存在实数，使得的定义域与值域都为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得出函数在上单调递减，结合题意得出，由题意得出，两式相加得出，可得出，从而可得出实数的取值范围.【详解】函数为上的奇函数，则，适合.当且时，函数为减函数.设，则，此时，且该函数在上单调递增，所以，函数在实数集上单调递减，由题意可得，则点和点在函数的图象上，且这两点关于直线对称.若，则这两点均为第二象限，都在直线的上方，不可能关于直线对称；若，则这两点均为第四象限，都在直线的下方，不可能关于
9、直线对称.因此，.由，得，两式相加得，即，（舍去）或，则.代入，得，又，.因此，实数的取值范围是，故选：B.【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查函数的定义域与值域问题，解题时要分析出函数的单调性及其他基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式.【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，焦距为，在中，由余弦
10、定理得，由椭圆和双曲线的定义得，解得.代入，得，即，即，因此，.故选：B.【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.在中，的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解法：利用，得出，然后利用辅助角公式以及二倍角公式可得出的最大值；解法：由积化和差公式得出，然后利用和辅助角公式可得出的最大值.【详解】法1：，当且仅当，时，等号成立，因此，的最大值为，故选：B；法2：，当且仅当，时，等号成立，因此，的最大值为，故选：B.【点睛】本题考查三角形中的最值的求解，涉及
11、到三角恒等变换中的一些变形技巧，解题时要注意化异角为同角，充分利用辅助角公式来求解，考查运算求解能力，属于难题.第卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的图象在原点处的切线方程是_【答案】【解析】【分析】易知原点在函数的图象上，利用导数求出切线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，可得出所求切线方程.【详解】易知原点在函数的图象上，当时，.因此，所求切线方程为，即，故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数图象的切线方程，解题时
12、要熟悉导数求切线方程的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.14.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为为抛物线上的一点，且满足，则为 .【答案】【解析】【详解】过N作NH垂直准线，垂足为H，则|NF|=|NH|，因为，所以，故答案为.15.已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，则函数的最小正周期为_【答案】【解析】【分析】由题意得出，可得出的表达式，结合可求出的值，然后利用正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期.【详解】由函数图象的一条对称轴为.可得，又，.因此，函数的最小正周期为，故答案为：.【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称轴求参数，同时也考查了正弦型函数周期的计算，要结合题意
13、得出参数的表达式，结合参数的取值范围求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.已知实数、满足，下列命题中：；的最小值是，所有真命题为_【答案】【解析】【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，再由、为函数的三个零点可判断出命题、的正误，由题中条件得出，代入可判断出命题的正误.【详解】令，则.，如下图所示：易知函数的三个零点分别为、，由于，由图象可知，则命题、正确；由题中条件可知，.因此，命题也为真命题，故答案为：.【点睛】本题考查不等式真假的判断，解题的关键就是根据等式结构构造新函数求判断，并将参数转化为函数的零点，在考查函数的综合问题时，要充分利用导数研究函数的
14、单调性，考查函数方程思想，属于难题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:60分.17.已知数列是首项为，公比为的等比数列，.（1）若、成等差数列，求的值；（2）证明，有.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先利用等比数列的通项公式和前项和公式分别求出、，由题意条件得出，即为，从而解出的值；（2）将裂项为，利用裂项法求出，再利用放缩法可得出所证不等式.【详解】（1）由等比数列的通项公式得，由等比数列的前项和公式得，、成等差数列，所以，即，化简得，解得；（2），且，因此，.【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知在正方体中，分别是的中点，在棱上，且（1）求证
