《湖南省长沙市2020届高三数学10月月考试题（含解析）（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市2020届高三数学10月月考试题（含解析）（通用）（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、湖南省长沙市长沙市第一中学2020届高三数学10月月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，集合，由此能求出【详解】因为，所以.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.若，则复数（为虚数单位）对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由已知角的范围可得，则答案可求详解】，复数对应的点在第四象限.【点睛】本题考查三角
2、函数的象限符号，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.已知偶函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本道题结合偶函数满足以及单调递增关系,前后推导,即可.【详解】结合偶函数的性质可得,而当,所以结合在单调递增,得到,故可以推出.举特殊例子,但是,故由无法得到,故是的充分不必要条件,故选A.【点睛】本道题考查了充分不必要条件的判定,关键结合偶函数的性质以及单调关系,判定,即可,属于较容易的题.4.若向量，则等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：设，利用两个向量坐标
3、形式的运算法则，用待定系数法求出和的值，即可求得答案.详解：因为，设，则有，即，解得，所以，故选D.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，在解题的过程中，先设出，之后根据向量的运算法则以及向量相等的条件，建立关于的等量关系式，求解即可得结果.5.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.【详解】函数是偶函数，排除选项；当时，函数 ，可得，当时，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左
4、右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象6.执行如图的程序框图，则输出的值是（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】易知当时，循环结束；再寻找的规律求解.【详解】计算过程如下： 21 2 012341024 是是是是是是否当时，循环结束，所以输出.故选D.【点睛】本题考查程序框图，选择表格计算更加简洁.当循环次数较多时，要注意寻找规律.7.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果.【详解】，
5、又，又综上：故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查作差法，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.已知函数向右平移个单位后得到，当时，函数取得最大值，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把函数向右平移个单位后得到，根据在取得最大值可求得，即可求的值。【详解】，由时，函数取得最大值，且，得，.【点睛】本题主要考查正、余弦函数的图象的特征，诱导公式，函数的图象变换规律，属于基础题9.已知是椭圆上一点，是椭圆的一个焦点，则以线段为直径的圆和以椭圆长轴为直径的圆的位置关系是（ ）A. 相离B. 内切C. 内含D. 相交【答案】B【解
6、析】【分析】设、分别是椭圆的左右焦点，作出以为直径的圆和以长轴为直径的圆，设的中点为，连结，利用三角形中位线定理与椭圆的定义，证出，得到两圆的圆心距等于它们半径之差，从而得到两圆的位置关系是相内切【详解】设椭圆的方程为，、分别是椭圆的左右焦点，作出以线段为直径的圆和以长轴为直径的圆，如图所示设中点为，连结，是的中位线，可得，即两圆的圆心距为根据椭圆定义，可得，圆心距，即两圆的圆心距等于它们半径之差，因此，以为直径的圆与以长半轴为直径的圆相内切故选：【点睛】本题给出椭圆以一条焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆，求两圆的位置关系着重考查了圆与圆的位置关系及其证明、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属
7、于中档题10.已知数列满足，且是函数的两个零点，则等于（ ）A. 24B. 32C. 48D. 64【答案】D【解析】试题分析：依题意可知，所以.即，故，.，所以，又可知.,故.考点：函数的零点、数列的递推公式11.已知函数，若方程在区间内的解为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，得，通过计算的范围，利用三角恒等变化可求的值，即可得出。【详解】即函数的对称轴为在区间内的解为.又因为，所以，所以，所以，所以.【点睛】本题考查正弦函数的性质以及三角恒等变换，属于中档题。12.已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，底边，侧棱，点在
8、线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设的中心为，球的半径为，连接，可得，解得，过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接，则，在中，解得，在中，过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，最小面积为当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为故答案为，【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案
9、的最简形式写在题中的横线上.13.某年级有1000名学生，一次数学测试成绩，则该年级学生数学成绩在115分以上人数大约为_.【答案】160【解析】【分析】根据考试的成绩服从正态分布，得到考试的成绩关于对称，根据，得到，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数【详解】考试的成绩服从正态分布，考试的成绩关于对称，该班数学成绩在115分以上的人数为故答案为：【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解14.已知平面向量满足，且，则_【答案】【解析】【分析】由已知可求，然后结合向量的数量积的性质|，代入即可
10、求解【详解】，则，故答案为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题15.在中，角，所对的边分别为，若，则的最小值为_【答案】2【解析】【分析】利用余弦定理将及化为三角形边的关系，可得，再利用基本不等式可得最小值.【详解】根据题意，由余弦定理得，得，依据正弦定理：，当且仅当时取等号，综上所述，答案为2.故答案为2.【点睛】本题主要考查了正余弦定理和基本不等式的交汇，解答本题的关键是将角化成边，利用基本不等式求最值要验证条件 “一正”“二定”“三相等”.16.定义在上的奇函数的导函数为，且.当时，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】令，根据函数的单调性求出
11、不等式的解集即可【详解】当时，由，得，得，所以在上递增，为偶函数，在上递减，且，或，可得或，所以，的解集为.【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及解不等式问题，是一道中档题三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知正项等比数列为递增数列，为其前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）已知为正项等比数列，根据，构造方程组，解得与，即可求出数列
12、的通项公式。（2）由（1）的通项公式计算出的通项公式，利用裂项相消法求出数量的前项和，可求的最小值。【详解】（1）设等比数列的公比为，则，得.，解得，或（舍），所以.（2），即的最小值为.【点睛】（1）利用基本量法构造方程组求数列的通项公式。（2）裂项相消法求和法：适用情形：分式型数列；分母中有两个或两个以上的因式，且因式结构相似.裂项的基本原理：将分子视为分母两因式之差的倍数.常见的裂项公式： （其中为等差数列的公差，且），；18.如图所示，在梯形中，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【
13、解析】【分析】（1）通过证明，转化证明平面，然后推出平面；（2）建立空间直角坐标系，设，求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，令，由题意可得平面的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，即可求的取值范围【详解】（1）证明：设，则.四边形为矩形，而平面，且，平面.，平面.（2）以为坐标原点，分别以直线，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，所以，设为平面的一个法向量，由，得，取，所以，因为是平面的一个法向量.所以.因为，所以当时，有最小值，当时，有最大值，所以.【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力19.长沙某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕.根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温（单位：）有关，如果最高气温不低于，需求量为600桶；如果最高气温（单位：）位于区间，需求量为400桶；如果最高气温低于，需求量为200桶.为了确定今年九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温（）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求九月份这种冰激凌一天的需求量（单位：桶）的分布列；（2）设九月份一天销售这种冰激凌的利润
