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1、湖南省示范高中岳阳市岳化一中2020届高三数学（理）月考试卷2020.9.6一、选择题：（每小题5分，共50分. 注意：答案请填入答卷上相应的答题框内）1已知为虚数单位，则 （ ）A3+4iB.0C.4+3iD.43i2节假日时，国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信问候的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别是8，15，14，3（人），通常情况下，小李应收到同事问候的信息条数为 （ ）A27 B37C38D3是的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分不必要条件4设随机变量的方差是，则（为常数）等于 （ ） A. B. C. D.5曲线
2、f(x)=x32在P0点处的切线平行于直线y=3x1,则P0点的坐标为 （ ）A.(1，0)B.(2，8) C.(1，1)和(1，3)D.(2，8)和(1，4)6. 某一供电网络有n个用电单位,若每个单位在一天中用电的概率是p,那么供电网络中一天平均用电的单位个数是 （ ）A.np(1p)B.np C.nD.p(1p)7若(1+5x)n的展开式中各项系数之和为an,(7x2+5)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn,则的值是 （ ）A.1B.C.D.8给定集合，定义 .若 ，则集合 中的所有元素之和为 （ ） A. 15 B. 14 C. 27 D. -149已知是关于的一元二次方程，其中是
3、非零向量，且与不共线，则方程 （ ） A. 可能有无数个实数解B. 至多有两个实数解 C. 至少有一个实数解D. 至多有一个实数解10若投掷一枚骰子3次，则最大数与最小数的差为5的概率是 （ ）A. B.C. D.二、填空题：（每小题5分，共25分. 注意：答案请填入答卷上相应的横线上）11不等式的解集为(4, ),则=_12= 13从正方体的八个顶点中任取4个点，其中4点恰能构成三棱锥的概率为 14任意两正整数m、n之间定义某种运算，mn=,则集合M=(a,b)|ab=36,a、bN*中元素的个数是_ 15下列4个命题：命题“若Q则P”与命题“若非P则非Q”互为逆否命题；“am2bm2”是“
4、a0且a1)的解集为x|-a x 2a；命题Q：y =lg(ax2-x+a)的定义域为R.如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围.17（本小题满分12分）在湖南卫视的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题.若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为、.(1)记先回答问题A的奖金为随机变量，则的取值分别是多少？(2)你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由.18（本小题满分12分）如图，在底面
5、是菱形的四棱锥PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（）在棱PC上是否存在一点F，使BF/平面AEC？证明你的结论.19（本小题满分13分）已知一次函数的图象关于直线对称的图象为C，且，若点在曲线C上，并有 求的解析式及曲线C的方程； 求数列的通项公式； 设，求的值20（本小题满分13分）设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为0，.（）求证：（II）若函数的递增区间为s，t，求|s-t|的取值范围；（）若当 21（本小题满分13分）已知函数满足且对定义域中
6、任意都成立.（1）求函数的解析式；（2）若数列的前项和为，满足当时，当2时，试给出数列的通项公式，并用数学归纳法证明.高三数学（理）月考试卷参考答案2020.9.61-10 BAACC BCADD11. 9/2 12.-1 13. 1441 1516. 解：简解：P：0a1/2；P、Q中有且仅有一个为真，0a1/2或a1。17解：（1）0元，1000元，3000元（2）设先答A的奖金为元，先答B的奖金为元。则有 同理： 故知先答A ，所获的奖金期望较多18.解：（）证明 因为底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.
7、同理，PAAD，所以PA平面ABCD.（）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.知EG平面ABCD.作GHAC于H，连结EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以从而 （）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以 设点F是棱PC上的点，则 令 得解得 即 时，亦即，F是PC的中点时，、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC.解法二： 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC，证明如下，证法一： 取PE的中点M，连
8、结FM，则FM/CE. 由 知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点. 所以 BM/OE.由、知，平面BFM/平面AEC.又 BF平面BFM，所以BF/平面AEC.证法二：因为 所以 、共面.又 BF平面ABC，从而BF/平面AEC.19解：设，则 ，即又，是曲线C的解析式因为点在曲线C上，所以，又，故k1，代入得f(x)x1，曲线C的方程是由知当时，故而，于是，即因为所以，所以 20解：（）由题意和导数的几何意义得：，由（1）得c= -a-2b，代入abc,再由a0得（）（） 21解：（1）由得，若，则，不合题意，故， 。由，得 由对定义域中任意都成立，得。由此解得 把代入，可得 ， （2），即， 当时，当时，当时， ，由此猜想：。 下面用数学归纳法证明：（1）当，等式成立。（2）假设当时，等式成立，就是那么，当时， 这就是说，当时，等式也成立。 由（1）和（2）可知，等式对任何都成立，故猜想正确。 （2）解法二：，即，即，由此猜想：。 下面用数学归纳法证明：（1）当，等式成立。（2）假设当时，等式成立，就是那么，当时，这就是说，当时，等式也成立。 由（1）和（2）可知，等式对任何都成立，故猜想正确。
