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1、章末综合测评(二)解三角形(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2016南昌高二检测)已知ABC中，a，b，B60，那么A等于()A135B120C60D45【解析】由正弦定理得，可得sin A，又ab，AB，A45.【答案】D2在ABC中，若sin A，a10，则边长c的取值范围是()A.B(10，)C(0,10)D【解析】由正弦定理得csin Csin C，又sin C(0,1，所以c.【答案】D3如图1，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东
2、60，则灯塔A在灯塔B的()图1A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80【解析】由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.【答案】D4(2016西安高二检测)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，则B的值是()A.BC.或D或【解析】由余弦定理得a2c2b22accos B.2accos Btan Bac，sin B，B或.【答案】D5在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB12，ab1，则角A等于()A45B30C60D75【解析】由正弦定理得，AB12，ab1，cos
3、 A，即A30.【答案】B6ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin Asin Bbcos2Aa，则等于()A2B2C.D【解析】asin Asin Bbcos2Aa，sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，sin Bsin A，ba，.【答案】D7在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A30B60C120D150【解析】由sin C2sin B及正弦定理，得c2b，a2b2bc6b2，即a27b2.由余弦定理，cos A，又0A180，A30.【答案】A8在ABC中，A60，b1，其面积为，则等于(
4、)A3BC.D【解析】2R，由SABCbcsin A知1csin 60，c4.又由余弦定理a2b2c22bccos A，得a.故2R.【答案】B9在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC()A.BC.D【解析】由余弦定理可得AC 292235，所以AC，再由正弦定理得，所以sinBAC.【答案】C10如图2所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为()图2A.海里/小时B34海里/小时C.海里/小时D34海里/小时【解析】由题意知PM68，MPN120，N45，由正弦定理知，MN6834
5、，速度为海里/小时【答案】A11在斜三角形ABC中，sin Acos Bcos C，且tan Btan C1，则角A的值为()A.BC.D【解析】由题意知，sin Acos Bcos Csin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C，在等式两端同除以cos Bcos C得tan Btan C，tan(BC)1tan A，tan A1，即A.【答案】A12如图3所示，在ABC中，已知AB12，角C的平分线CD把三角形面积分为32两部分，则cos A等于() 【导学号：67940050】图3A.BC.D0【解析】在ABC中，设A
6、CDBCD，CAB，由AB12得ABC2，AB，ACBC，SACDSBCD，SACDSBCD32，.由正弦定理得，2cos ，cos ，即cos A.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13(2015福建高考)若锐角ABC的面积为10，且AB5，AC8，则BC等于_【解析】由正弦定理，得SABACsin A10，sin A.A，A.由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A2564258cos 49，BC7.【答案】714(2015北京高考)在ABC中，a4，b5，c6，则_.【解析】由正弦定理得，由余弦定理得cos A，a4，b5，c6
7、，2cos A21.【答案】115(2015天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_【解析】在ABC中，由cos A可得sin A，所以有解得【答案】816(2015南通调研)已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是_【解析】如图，设ABAC2x，则在ABD中，由余弦定理，得3x24x24x2cos A，所以cos A.所以sin A，所以SABC(2x)2sin A.故当x2时，(SABC)max 2.【答案】2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题
8、满分10分)(2015全国卷)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60，求B.【解】(1)由正弦定理，得，.因为AD平分BAC，BD2DC，所以.(2)因为C180(BACB)，BAC60，所以sin Csin(BACB)cos Bsin B.由(1)知2sin Bsin C，所以tan B，所以B30.18(本小题满分12分)(2015安徽高考)在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长【解】设ABC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccos BAC(3)262236cos 1836
9、(36)90，所以a3.又由正弦定理得sin B，由题设知0B，所以cos B.在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD.19(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos，3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值【解】(1)cos ，cos A2cos21，sin A.又由3，得bccos A3，bc5，SABCbcsin A2.(2)bc5，又bc6.b5，c1或b1，c5，由余弦定理，得a2b2c22bccos A20，a2.20(本小题满分12分)在ABC中，已知2acos Bc，sin Asin B(
10、2cos C)sin2，试判断ABC的形状【解】依题意得2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin(AB)sin(AB)0，因此BA，C2A，于是有sin2A(2cos 2A)cos2A，即sin2A(32sin2A)1sin2A，解得sin2A，因此sin A，又BA必为锐角，因此BA，ABC是等腰直角三角形21(本小题满分12分)甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？. 【导学号：67940051】【解
11、】设乙船速度为v海里/时，在ABC中，由余弦定理可知BC2AC2AB22ACABcosCAB，221022910cos 120，v21海里/时又由正弦定理可知，sin Bsin 120，B2147，即乙船应按北偏东4521472313的方向航行22(本小题满分12分)在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求ABC的面积S.【解】(1)由正弦定理，设k，则，所以，即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以sin C2sin A，因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理b2a2c22accos B及cos B，b2，得4a24a24a2，解得a1，从而c2.又因为cos B，且0B.所以sin B，因此Sacsin B12.10
