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1、章末综合测评(二)解三角形(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(2016南昌高二检测)已知ABC中,a,b,B60,那么A等于()A135B120C60D45【解析】由正弦定理得,可得sin A,又ab,AB,A45.【答案】D2在ABC中,若sin A,a10,则边长c的取值范围是()A.B(10,)C(0,10)D【解析】由正弦定理得csin Csin C,又sin C(0,1,所以c.【答案】D3如图1,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40,灯塔B在观察站南偏东
2、60,则灯塔A在灯塔B的()图1A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80【解析】由条件及图可知,AB40,又BCD60,所以CBD30,所以DBA10,因此灯塔A在灯塔B南偏西80.【答案】D4(2016西安高二检测)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2c2b2)tan Bac,则B的值是()A.BC.或D或【解析】由余弦定理得a2c2b22accos B.2accos Btan Bac,sin B,B或.【答案】D5在ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,若AB12,ab1,则角A等于()A45B30C60D75【解析】由正弦定理得,AB12,ab1,cos
3、 A,即A30.【答案】B6ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin Asin Bbcos2Aa,则等于()A2B2C.D【解析】asin Asin Bbcos2Aa,sin2Asin Bsin Bcos2Asin A,sin Bsin A,ba,.【答案】D7在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2b2bc,sin C2sin B,则A()A30B60C120D150【解析】由sin C2sin B及正弦定理,得c2b,a2b2bc6b2,即a27b2.由余弦定理,cos A,又0A180,A30.【答案】A8在ABC中,A60,b1,其面积为,则等于(
4、)A3BC.D【解析】2R,由SABCbcsin A知1csin 60,c4.又由余弦定理a2b2c22bccos A,得a.故2R.【答案】B9在ABC中,ABC,AB,BC3,则sinBAC()A.BC.D【解析】由余弦定理可得AC 292235,所以AC,再由正弦定理得,所以sinBAC.【答案】C10如图2所示,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船航行的速度为()图2A.海里/小时B34海里/小时C.海里/小时D34海里/小时【解析】由题意知PM68,MPN120,N45,由正弦定理知,MN6834
5、,速度为海里/小时【答案】A11在斜三角形ABC中,sin Acos Bcos C,且tan Btan C1,则角A的值为()A.BC.D【解析】由题意知,sin Acos Bcos Csin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C,cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C,在等式两端同除以cos Bcos C得tan Btan C,tan(BC)1tan A,tan A1,即A.【答案】A12如图3所示,在ABC中,已知AB12,角C的平分线CD把三角形面积分为32两部分,则cos A等于() 【导学号:67940050】图3A.BC.D0【解析】在ABC中,设A
6、CDBCD,CAB,由AB12得ABC2,AB,ACBC,SACDSBCD,SACDSBCD32,.由正弦定理得,2cos ,cos ,即cos A.【答案】C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分将答案填在题中的横线上)13(2015福建高考)若锐角ABC的面积为10,且AB5,AC8,则BC等于_【解析】由正弦定理,得SABACsin A10,sin A.A,A.由余弦定理,得BC2AB2AC22ABACcos A2564258cos 49,BC7.【答案】714(2015北京高考)在ABC中,a4,b5,c6,则_.【解析】由正弦定理得,由余弦定理得cos A,a4,b5,c6
7、,2cos A21.【答案】115(2015天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,bc2,cos A,则a的值为_【解析】在ABC中,由cos A可得sin A,所以有解得【答案】816(2015南通调研)已知等腰三角形腰上的中线长为,则该三角形的面积的最大值是_【解析】如图,设ABAC2x,则在ABD中,由余弦定理,得3x24x24x2cos A,所以cos A.所以sin A,所以SABC(2x)2sin A.故当x2时,(SABC)max 2.【答案】2三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题
8、满分10分)(2015全国卷)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD2DC.(1)求;(2)若BAC60,求B.【解】(1)由正弦定理,得,.因为AD平分BAC,BD2DC,所以.(2)因为C180(BACB),BAC60,所以sin Csin(BACB)cos Bsin B.由(1)知2sin Bsin C,所以tan B,所以B30.18(本小题满分12分)(2015安徽高考)在ABC中,A,AB6,AC3,点D在BC边上,ADBD,求AD的长【解】设ABC的内角BAC,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2b2c22bccos BAC(3)262236cos 1836
9、(36)90,所以a3.又由正弦定理得sin B,由题设知0B,所以cos B.在ABD中,因为ADBD,所以ABDBAD,所以ADB2B,故由正弦定理得AD.19(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos,3.(1)求ABC的面积;(2)若bc6,求a的值【解】(1)cos ,cos A2cos21,sin A.又由3,得bccos A3,bc5,SABCbcsin A2.(2)bc5,又bc6.b5,c1或b1,c5,由余弦定理,得a2b2c22bccos A20,a2.20(本小题满分12分)在ABC中,已知2acos Bc,sin Asin B(
10、2cos C)sin2,试判断ABC的形状【解】依题意得2sin Acos Bsin Csin(AB),2sin Acos Bsin(AB)sin(AB)0,因此BA,C2A,于是有sin2A(2cos 2A)cos2A,即sin2A(32sin2A)1sin2A,解得sin2A,因此sin A,又BA必为锐角,因此BA,ABC是等腰直角三角形21(本小题满分12分)甲船在A处遇险,在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后,测得甲船正沿着北偏西15的方向,以每小时9海里的速度向某岛靠近如果乙船要在40分钟内追上甲船,问乙船应以多大速度、向何方向航行?. 【导学号:67940051】【解
11、】设乙船速度为v海里/时,在ABC中,由余弦定理可知BC2AC2AB22ACABcosCAB,221022910cos 120,v21海里/时又由正弦定理可知,sin Bsin 120,B2147,即乙船应按北偏东4521472313的方向航行22(本小题满分12分)在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知.(1)求的值;(2)若cos B,b2,求ABC的面积S.【解】(1)由正弦定理,设k,则,所以,即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B,化简可得sin(AB)2sin(BC)又ABC,所以sin C2sin A,因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理b2a2c22accos B及cos B,b2,得4a24a24a2,解得a1,从而c2.又因为cos B,且0B.所以sin B,因此Sacsin B12.10