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1、课后提升作业 十五 平面向量的实际背景及基本概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.数轴上点A,B分别对应-1,2,则向量AB的长度是()A.-1B.2C.1D.3【解析】选D.|AB|=2-(-1)=3.2.下列结论中,不正确的是()A.向量AB,CD共线与向量ABCD意义是相同的B.若AB=CD,则ABCDC.若向量a,b满足|a|=|b|,则a=bD.若向量AB=CD,则向量BA=DC【解析】选C.平行向量又叫共线向量,相等向量一定是平行向量,但两个向量长度相等,方向却不一定相等,故C错误.3.(2016丹东高一检测)设O是正六边形ABCDEF的中心,则以O和各顶点为
2、起点和终点的向量中与向量OA相等的向量的个数有()A.4个B.3个C.2个D.7个【解析】选B.根据正六边形的性质可得,与OA相等的向量有CB,DO,EF,共3个.4.(2016济宁高一检测)设e1,e2是两个单位向量,则下列结论中正确的是()A.e1=e2B.e1e2C.e1=-e2D.|e1|=|e2|【解析】选D.根据单位向量的定义:把模为1的向量称为单位向量,可知|e1|=|e2|=1,而这两个向量的方向并没有明确,所以这两个单位向量可能共线,也可能不共线,所以A,B,C错误,D正确.【补偿训练】若|a|=|b|,那么要使a=b,两向量还需要具备()A.方向相反B.方向相同C.共线D.
3、方向任意【解析】选B.两向量相等需具备长度相等且方向相同两个条件,因此选B.5.(2016长沙高二检测)设O为ABC外接圆的圆心,则AO,BO,CO是()A.相等向量B.平行向量C.模相等的向量D.起点相同的向量【解析】选C.|AO|,|BO|,|CO|都等于ABC外接圆的半径.6.判断下列命题正确的是()A.若向量a与b同向,且|a|b|,则abB.若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反C.对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=bD.向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反【解析】选C.A不正确.因为向量是不同于数量的一种量,它由两个因素来确定,即大小与方
4、向,所以两个向量不能比较大小,故A不正确.B.不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,并不能判断方向.C正确.因为|a|=|b|,且a与b同向,由两向量相等的条件可得a=b.D不正确.因为向量a与向量b中若有一个是零向量,则其方向不确定.7.(2016贵阳高一检测)如图,在菱形ABCD中,DAB=120,则以下说法错误的是()A.与AB相等的向量只有一个(不含AB)B.与AB的模相等的向量有9个(不含AB)C.BD的模恰为DA模的3倍D.CB与DA不共线【解析】选D.两向量相等要求长度(模)相等,方向相同.两向量共线只要求方向相同或相反.D中CB,DA所在直线平行,向量方向相同,故共线
5、.8.(2016娄底高一检测)已知点O固定,且|OA|=2,则A点构成的平面图形是 ()A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定【解析】选C.因为|OA|=2,所以点A在以点O为圆心、2为半径的圆上,故A点构成的平面图形是一个圆.【补偿训练】把同一平面内所有不小于1,不大于2的向量的起点,移到同一点O,则这些向量的终点构成的图形的面积等于.【解析】这些向量的终点构成的图形是一个圆环,其面积为22-12=3.答案:3二、填空题(每小题5分,共10分)9.给出下列四个条件:a=b;|a|=|b|;a与b方向相反;|a|=0,或|b|=0.其中能使ab成立的条件是.【解析】因为a与b为相等向量,
6、所以ab,即能够使ab成立;由于|a|=|b|并没有确定a与b的方向,即不能够使ab成立;因为a与b方向相反时,ab,即能够使ab成立;因为零向量与任意向量共线,所以|a|=0或|b|=0时,ab能够成立,故使ab成立的条件是.答案:10.如图,四边形ABCD是菱形,则在向量AB,BC,CD,DA,DC和AD中,相等的有对.【解析】AB=DC,BC=AD.其余不等.答案:2三、解答题11.(10分)在平面上有一个四边形ABCD,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:EF=HG.【解题指南】EF,HG都与12AC平行且相等.【证明】如图,连接AC,在ABC中,点E,F分别为A
7、B,BC的中点,所以|EF|=12|AC|,且EF与AC的方向相同.同理可得|HG|=12|AC|,且HG与AC方向相同,所以|EF|=|HG|且EF与HG方向相同,所以EF=HG.【规律方法】平面图形性质在向量中的应用在解决平面图形中相等向量、共线向量的问题时,首先要分析平面图形中相等、平行关系,充分利用三角形中位线定理,平行四边形的性质等平面几何知识,然后再转化为向量平行、相等.【能力挑战题】如图,在平行四边形ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点,设点集S=A,B,C,D,O,向量集合T=MN|M,NS且M,N不重合,试求集合T中元素的个数.【解析】由题意知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个,即AB,AC,AD,AO;BA,BC,BD,BO;CA,CB,CD,CO;DA,DB,DC,DO;OA,OB,OC,OD.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即AB=DC,AD=BC,DA=CB,BA=CD,AO=OC,OA=CO,DO=OB,OD=BO.因为集合中元素具有互异性,所以集合T中的元素共有12个.- 5 -
