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1、函数的复习主要抓住两条主线 1 函数的概念及其有关性质 2 几种初等函数的具体性质 函数的概念 定义 表示 列表法 解析法 图象法 三要素 定义域 对应关系 值域 值域与最值 观察法 判别式法 分离常数法 单调性法 最值法 重要不等式 三角法 图象法 线性规划等 函数的图象函数的基本性质 单调性 1 求单调区间 定义法 导数法 用已知函数的单调性 2 复合函数单调性 同增异减 对称性 轴对称 f a x f a x 中心对称 f a x f a x 2b 奇偶性 1 先看定义域是否关于原点对称 再看f x f x 还是 f x 2 奇函数图象关于原点对称 若x 0有意义 则f 0 0 3 偶函
2、数图象关于y轴对称 反之也成立 周期性 f x T f x 周期为T的奇函数有f T f T 2 f 0 0 函数常见的几种变换 平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换基本初等函数 正 反 比例函数 一次 二次 函数 幂 指数 对数函数 定义 图象 性质 应用 复合函数 单调性 同增异减 奇偶性 内偶则偶 内奇同外抽象函数 赋值法函数的应用 函数与方程 函数零点 一元二次方程根的分布 常见函数模型 幂 指 对函数模型 分段函数 对勾函数模型 B C x1x2x3x4x5 y1y2y3y4y5 y6 A 函数的三要素 定义域 值域 对应法则 A B是两个非空的数集 如果按照某种对应法则f 对于集
3、合A中的每一个元素x 在集合B中都有唯一的元素y和它对应 这样的对应叫做从A到B的一个函数 一 函数的概念 二 映射的概念 设A B是两个非空的集合 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个元素x 在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应 那么就称对应f A B为集合A到集合B的一个映射 映射是函数的一种推广 本质是 任一对唯一 函数的定义域 使函数有意义的x的取值范围 求定义域的主要依据 1 分式的分母不为零 2 偶次方根的被开方数不小于零 3 零次幂的底数不为零 4 对数函数的真数大于零 5 指 对数函数的底数大于零且不为1 6 实际问题中函数的定义域 一 函数的定义域 1 具
4、体函数的定义域 1 1 2 2 2 1 1 3 3 4 1 2 抽象函数的定义域 1 已知函数y f x 的定义域是 1 3 求f 2x 1 的定义域 2 已知函数y f x 的定义域是 0 5 求g x f x 1 f x 1 的定义域 3 1 1 2 2 1 4 3 思考 若值域为R呢 分析 值域为R等价为真数N能取 0 每个数 当a 0时 N 3只是 0 上的一个数 不成立 当a 0时 真数N取 0 每个数即 2 函数的值域 1 在函数y f x 中 与自变量x的值相对应的y的值叫 叫函数的值域 2 基本初等函数的值域 函数值 函数值的集合 求值域的一些方法 1 图像法 2 配方法 3
5、分离常数法 4 换元法 5单调性法 1 2 3 4 三 函数的表示法 1 解析法2 列表法3 图象法 例10求下列函数的解析式 待定系数法 换元法 赋值法 构造方程组法 4 已知 求的解析式 配凑法 1 函数的单调性 f x1 f x2 f x1 f x2 上升的 下降的 1 单调函数的定义 写出常见函数的单调区间并指明是增区间还是减区间 用定义证明函数单调性的步骤 1 设元 设x1 x2是区间上任意两个实数 且x1 x2 2 作差 f x1 f x2 3 变形 通过因式分解转化为易于判断符号的形式 4 判号 判断f x1 f x2 的符号 5 下结论 1 函数f x 2x 1 x 1 x x
6、 1 则f x 的递减区间为 A 1 B 1 C 0 D 0 B 2 若函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 4 上是增函数 求实数a的取值范围 3判断函数的单调性 拓展提升复合函数的单调性 复合函数的单调性 规律 当两个函数的单调性相同时 其复合函数是增函数 当两个函数的单调性不相同时 其复合函数是减函数 同增异减 复合函数的单调性 例题 求下列函数的单调性y log4 x2 4x 3 解设y log4u 外函数 u x2 4x 3 内函数 由u 0 u x2 4x 3 解得原复合函数的定义域为 x x 1或x 3 当x 1 时 u x2 4x 3为减函数 而y log4u为增函数 所
7、以 1 是复合函数的单调减区间 当x 3 时 u x2 4x 3为增函数y log4u为增函数 所以 3 是复合函数的单调增区间 例4 求的单调区间 解 设由u R u x2 2x 1 解得原复合函数的定义域为x R 因为在定义域R内为减函数 所以由二次函数u x2 2x 1的单调性易知 u x2 2x 1 x 1 2 2在x 1时单调减 由x R 复合函数定义域 x 1 u减 解得x 1 所以 1 是复合函数的单调增区间 同理 1 是复合函数的单调减区间 复合函数的单调性小结 复合函数y f g x 的单调性可按下列步骤判断 1 将复合函数分解成两个简单函数 y f u 与u g x 其中y
8、 f u 又称为外层函数 u g x 称为内层函数 2 确定函数的定义域 3 分别确定分解成的两个函数的单调性 4 若两个函数在对应的区间上的单调性相同 即都是增函数 或都是减函数 则复合后的函数y f g x 为增函数 5 若两个函数在对应的区间上的单调性相异 即一个是增函数 而另一个是减函数 则复合后的函数y f g x 为减函数 复合函数的单调性可概括为一句话 同增异减 四 函数的奇偶性 1 奇函数 对任意的 都有 2 偶函数 对任意的 都有 3 奇函数和偶函数的必要条件 注 要判断函数的奇偶性 首先要看其定义域区间是否关于原点对称 定义域关于原点对称 奇 偶 函数的一些特征 1 若函数
9、f x 是奇函数 且在x 0处有定义 则f 0 0 2 奇函数图像关于原点对称 且在对称的区间上不改变单调性 3 偶函数图像关于y轴对称 且在对称的区间上改变单调性 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 3 性质 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性 2 在定义域的关于原点对称的公共区间内 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 偶 非奇非偶 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 奇 奇 1 奇函数 偶函数的图象特点 3 奇偶性与单调性的关系 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的
10、任何值时 都有f x T 那么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中 的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 3 周期性 存在一个最小 f x 例12判断下列函数的奇偶性 函数的奇偶性与周期性 函数的图象 1 用学过的图像画图 2 用某种函数的图象变形而成 1 关于x轴 y轴 原点对称关系 2 平移关系 3 绝对值关系 反比例函数 1 定义域 2 值域 3 图象 k 0 k 0 1 二次函数的定义与解析式 一般式 顶点式 顶点为 零点式 其中 是方程ax2 bx c 0的两根 y ax2 bx c a 0 y a x
11、 m 2 n a 0 y a x x1 x x2 a 0 m n 1 二次函数的定义形如 f x ax2 bx c a 0 的函数叫做二次函数 2 二次函数解析式的三种形式 x1 x2 对称轴 顶点 2 二次函数的图象和性质 上递减 上递增 上递增 上递减 3 二次函数f x ax2 bx c a 0 与轴两交点的距离 当 b2 4ac 0时 图象与x轴有两个交点M1 x1 0 M2 x2 0 4 二次函数f x ax2 bx c a 0 在 m n 上的最值 2 若 m n 则 当x0 m时 f x min f m f x max f n 当x0 n时 f x min f n f x max
12、 f m 1 若 m n 则 f x min f x0 有两不等实根x1 x2 x xx2 有两相等实根x1 x2 无实根 x x x1 R 3 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式三者之间的关系 x x1 x x2 4 不等式ax2 bx c 0恒成立问题 ax2 bx c 0在R上恒成立 f x ax2 bx c 0 a 0 在 m n 上恒成立 f x min 0 x m n ax2 bx c 0在R上恒成立 f x ax2 bx c0 在 m n 上恒成立 求二次函数的解析式 例1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数 二次函数的解
13、析式有三种形式 1 一般式 f x ax2 bx c a 0 2 顶点式 f x a x h 2 k a 0 3 两根式 f x a x x1 x x2 a 0 已知函数的类型 模型 求其解析式 用待定系数法 根据题设恰当选用二次函数解析式的形式 可使解法简捷 二次函数的图象与性质 例2 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 1 当a 2时 求f x 的最值 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 3 当a 1时 求f x 的单调区间 二次函数的综合应用 例3 若二次函数f x ax2 bx c a 0 满足f x 1 f x 2x 且f 0 1 1 求f
14、x 的解析式 2 若在区间 1 1 上 不等式f x 2x m恒成立 求实数m的取值范围 例1 已知函数在区间 0 1 上的最大值是2 求实数a的值 例2 设不等式mx2 2x m 1 0对于满足 m 2的一切值都恒成立 求实数x的取值范围 解 设f m mx2 2x m 1 点评 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是变量 求谁的范围 谁就是参数 则f m 是一个以m为自变量的一次函数 其图象是直线 由题意知该直线当 2 m 2时 线段在x轴下方 所以实数x的取值范围是 则问题转化为 m g x min 解 m 2x2 9x在区间 2 3 上恒成立 1 变
15、量分离法 分离参数 例4 关于x的不等式在区间 2 3 上恒成立 则实数m的取值范围是 评注 对于一些含参数的不等式恒成立问题 如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离 即使变量和参数分别位于不等式的左 右两边 然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题 不等式恒成立问题 问题等价于f x max 0 解 构造函数 2 转换求函数的最值 例4 关于x的不等式在区间 2 3 上恒成立 则实数m的取值范围是 不等式恒成立问题 则 解 构造函数 例4 关于x的不等式在区间 2 3 上恒成立 则实数m的取值范围是 数形结合思想 不等式恒成立问题 解 据题意 由已知得 不等式解集为 2
16、 3 例4 关于x的不等式在区间 2 3 上恒成立 则实数m的取值范围是 不等式解集法 不等式恒成立问题 二次方程的实根分布问题 一 函数零点 一般地 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x就做函数y f x 的零点 由此得出以下三个结论等价 方程f x 0有实根函数y f x 的图象与x轴有交点函数y f x 有零点 涉及方程f x ax2 bx c 0 a 0 的实根分布问题 一般情况下要从四个方面考虑 f x 图象的开口方向 方程f x 0的判别式 区间端点处函数值的符号 f x 图象的对称轴与区间的关系 1 二次方程ax2 bx c 0 a 0 实根分布问题 实根分布问题 一元二次方程 1 当x为全体实数时的根 一元二次方程在某个区间上有实根 求其中字母系数的问题称为实根分布问题 实根分布问题一般考虑四个方面 即 1 开口方向 2 判别式 3 对称轴 4 端点值的符号 2 当x在某个范围内的实根分布 可用韦达定理表达式来书写条件 也可 可用韦达定理表达式来书写条件 也可 可用韦达定理表达式来书写 ac 0 解 寻求等价条件 例1 m为何实数值时 关于x的方程 1 有实根
