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1、17 2勾股定理的逆定理 1 勾股定理的内容是什么 复习与巩固 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么 a2 b2 c2 2 求以线段a b为直角边的直角三角形的斜边c的长 a 3 b 4 a 8 b 6 a 5 b 12 按照这种做法真能得到一个直角三角形吗 古埃及人曾用下面的方法得到直角 用13个等距的结 把一根绳子分成等长的12段 然后以3个结 4个结 5个结的长度为边长 用木桩钉成一个三角形 其中一个角便是直角 你能猜想出其中的数学道理吗 画一画 量一量 下面的三组数分别是一个三角形的三边长a b c 5 12 13 7 24 25 8 15 17 勾股定理的逆命题 勾股定
2、理 互逆命题 大胆猜想 C 900 A B 2 a2 b2 a2 b2 c2 A B 2 c2 A B c 边长取正值 ABC A B C SSS C C 全等三角形对应角相等 C 900 已知 在 ABC中 AB cBC aCA b且a2 b2 c2 证明 ABC是直角三角形 证明 画一个 A B C 使 C 900 B C a C A b 在 ABC和 A B C 中 ABC是直角三角形 直角三角形的定义 推理验证 勾股定理的逆命题 勾股定理 互逆命题 逆定理 定理 驶向胜利的彼岸 定理与逆定理 我们已经学习了一些互逆的定理 如 勾股定理及其逆定理 两直线平行 内错角相等 内错角相等 两直
3、线平行 想一想 互逆命题与互逆定理有何关系 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么它是一个定理 这两个定理称为互逆定理 其中一个定理称另一个定理的逆定理 1 两条直线平行 内错角相等 2 如果两个实数相等 那么它们的平方相等 3 如果两个实数相等 那么它们的绝对值相等 4 全等三角形的对应角相等 说出下列命题的逆命题 这些命题的逆命题成立吗 逆命题 内错角相等 两条直线平行 成立 逆命题 如果两个实数的平方相等 那么这两个实数相等 不成立 逆命题 如果两个实数的绝对值相等 那么这两个实数相等 不成立 逆命题 对应角相等的两个三角形是全等三角形 不成立 感悟 原命题成立时 逆命题有时成立 有
4、时不成立 一个命题是真命题 它的逆命题却不一定是真命题 例1判断由a b c组成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 8 c 17 2 a 13 b 15 c 14 分析 由勾股定理的逆定理 判断三角形是不是直角三角形 只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方 解 152 82 225 64 289172 289 152 82 172 这个三角形是直角三角形 下面以a b c为边长的三角形是不是直角三角形 如果是那么哪一个角是直角 1 a 25b 20c 15 2 a 13b 14c 15 4 a b c 3 4 5 是 是 不是 是 A 900 B 900 C 900 3 a 1b
5、 2c 像25 20 15 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 称为勾股数 分析 先来判断a b c三边哪条最长 可以代m n为满足条件的特殊值来试 m 5 n 4 则a 9 b 40 c 41 c最大 ABC是直角三角形 例2 远航 号 海天 号轮船同时离开港口 各自沿一固定方向航行 远航 号每小时航行16海里 海天 号每小时航行12海里 它们离开港口一个半小时后相距30海里 如果知道 远航 号沿东北方向航行 能知道 海天 号沿哪个方向航行吗 练习 如图 点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心 在森林公园附近有B C两个村庄 现要在B C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两
6、村连通 经测得AB 600m AC 800m 问此公路是否会穿过该森林公园 请通过计算说明 400 1000 D 请谈谈你的收获 自主评价 1 勾股定理的逆定理 2 什么叫做互逆命题 原命题与逆命题 3 什么称为互为逆定理 1 长度分别为3 4 5 12 13的五根木棒能搭成 首尾连接 直角三角形的个数为 A1个B2个C3个D4个 B A 3 已知三角形的三边长为9 12 15 则这个三角形的最大角是 度 4 ABC的三边长为9 40 41 则 ABC的面积为 90 180 5 三角形的三边长为8 15 17 那么最短边上的高为 15 6 三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 338
7、10a 24b 26c 此三角形为 三角形 7 一个零件的形状如图 工人师傅量得一个零件的尺寸如下 AB 3 AD 4 BC 13 CD 12且 DAB 90 你能求这个零件的面积吗 3 4 13 12 5 8 有一块菜地 形状如下 试求它的面积 9 已知a b c为 ABC的三边 且满足a2c2 b2c2 a4 b4 试判断 ABC的形状 解 a2c2 b2c2 a4 b4 1 c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 2 c2 a2 b2 3 ABC是直角三角形问 1 上述解题过程 从哪一步开始出现错误 请写出该步的代号 2 错误原因是 3 本题正确的结论是 3 a2 b2可能是0 直角三角形或等腰三角形 如图 边长为4的正方形ABCD中 F是DC的中点 且CE BC 则AF EF 试说明理由 解 连接AE ABCD是正方形 边长是4 F是DC的中点 EC 1 4BC 根据勾股定理 在Rt ADF AF2 AD2 DF2 20Rt EFC EF2 EC2 FC2 5Rt ABE AE2 AB2 BE2 25 AD 4 DF 2 FC 2 EC 1 AE2 EF2 AF2 AEF 90 即AF EF A 如图 在 ABC中 AB 17 BC 16 BC边上的中线AD 15 试说明AB AC
