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1、【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 学业分层测评5 直角三角形的射影定理 新人教A版选修4-1 (建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1在ABC中,ACB90,CDAB于D,AD3,BD2,则ACBC的值是()A32B94C.D.【解析】如图,在RtACB中,CDAB,由射影定理知AC2ADAB,BC2BDAB,又AD3,BD2,ABADBD5,AC23515,BC22510.,即ACBC,故选C.【答案】C2.如图149所示,在ABC中,ACB90,CDAB,D为垂足,若CD6,ADDB12,则AD的值是()图149A6 B3C18D3【解析】
2、由题意知AD218,AD3.【答案】B3一个直角三角形的一条直角边为3 cm,斜边上的高为2.4 cm,则这个直角三角形的面积为()【导学号:07370021】A7.2 cm2 B6 cm2C12 cm2D24 cm2【解析】长为3 cm的直角边在斜边上的射影为1.8(cm),由射影定理知斜边长为5(cm),三角形面积为52.46(cm2)【答案】B4在RtABC中,BAC90,ADBC于点D,若,则等于()A.B. C.D.【解析】如图,由射影定理,得AC2CDBC,AB2BDBC,2,即,.【答案】C5在RtACB中,ACB90,CDAB于D,若BDAD14,则tanBCD的值是()【导学
3、号:07370022】A. B.C.D2【解析】如图,由射影定理得CD2ADBD.又BDAD14,令BDx,则AD4x(x0),CD2ADBD4x2,CD2x,在RtCDB中,tanBCD.【答案】C二、填空题6如图1410,在矩形ABCD中,AEBD,OFAB.DEEB13,OFa,则对角线BD的长为_图1410【解析】OFa,AD2a.AEBD,AD2DEBD.DEEB13,DEBD,AD2BDBD,BD24AD244a216a2,BD4a.【答案】4a7如图1411,已知RtABC的两条直角边AC,BC的长分别为3 cm,4 cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD_cm.图1411
4、【解析】连接CD,则CDAB.由AC3 cm,BC4 cm,得AB5 cm.由射影定理得BC2BDBA,即425BD.所以BD cm.【答案】8已知在梯形ABCD中,DCAB,D90,ACBC,AB10 cm,AC6 cm,则此梯形的面积为_【解析】如图,过C点作CEAB于E.在RtACB中,AB10 cm,AC6 cm,BC8 cm,BE6.4 cm,AE3.6 cm,CE4.8(cm),AD4.8 cm.又在梯形ABCD中,CEAB,DCAE3.6 cm.S梯形ABCD32.64(cm2)【答案】32.64 cm2三、解答题9已知直角三角形周长为48 cm,一锐角平分线分对边为35两部分.
5、 (1)求直角三角形的三边长;(2)求两直角边在斜边上的射影的长【解】(1)如图,设CD3x,BD5x,则BC8x,过D作DEAB,由题意可得,DE3x,BE4x,AEAC12x48.又AEAC,AC246x,AB242x,(246x)2(8x)2(242x)2,解得x10(舍去),x22,AB20,AC12,BC16,三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CFAB于F,AC2AFAB,AF(cm)同理BF(cm)两直角边在斜边上的射影长分别为 cm, cm.10如图1412所示,CD垂直平分AB,点E在CD上,DFAC,DGBE,点F,G分别为垂足求证:AFACBGBE.图
6、1412【证明】CD垂直平分AB,ACD和BDE均为直角三角形,并且ADBD.又DFAC,DGBE,AFACAD2,BGBEDB2.AD2DB2,AFACBGBE.能力提升1已知直角三角形中两直角边的比为12,则它们在斜边上的射影比为()A12B21C14D41【解析】设直角三角形两直角边长分别为1和2,则斜边长为,两直角边在斜边上的射影分别为和.【答案】C2已知RtABC中,斜边AB5 cm,BC2 cm,D为AC上一点,DEAB交AB于E,且AD3.2 cm,则DE()A1.24 cm B1.26 cmC1.28 cmD1.3 cm【解析】如图,AA,RtADERtABC,DE1.28.【答案】C3如图1413所示,在RtABC中,ACB90,CDAB,AC6,AD3.6,则BC_.图1413【解析】由射影定理得,AC2ADAB,BC2BDAB,即BC2.又CD2ADBD,BD.BC264.BC8.【答案】84如图1414,已知BD,CE是ABC的两条高,过点D的直线交BC和BA的延长线于G,H,交CE于F,且HBCE,求证:GD2FGGH.图1414【证明】HBCE,EBCGBH,BCEBHG,BECBGH90,HGBC.BDAC,在RtBCD中,由射影定理得,GD2BGCG.FGCBGH90,GCFH,FCGBHG,BGCGGHFG.由得,GD2GHFG.7