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1、二 一般形式的柯西不等式对应学生用书P32名称形式等号成立条件三维形式柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3R，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2当且仅当b1b2b30或存在一个实数k使得aikbi(i1,2,3)一般形式柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2，n)说明一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方
2、在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式 对应学生用书P32利用柯西不等式证明不等式例1设x1，x2，xn都是正数，求证：.思路点拨根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明证明(x1x2xn)(1)2()2()22n2，.柯西不等式的结构特征可以记为：(a1a2an)(b1b2bn)()2.其中ai，biR(i1,2，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键1已知a，b，c，dR，且abc1，求证：3.证明：根据柯西不等式，有()2(111)(3a13b13c1)18，3.利用柯西不等式求最值例2(
3、1)已知x，y，zR，且xyz1.求 的最小值(2)设2x3y5z29.求函数的最大值思路点拨(1)利用(xyz)(2)利用()2111)2.解(1)xyz1，(xyz)2(123)236.当且仅当x，即x，y，z时取等号所以的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(111)2(2x1)(3y4)(5z6)(111)3(2x3y5z11)340120.故2 ，当且仅当2x13y45z6，即x，y，z时等号成立此时max2 .利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件2设a，b，c，d均为正实数，则(abcd)的最小值为_解析：(abcd)(
4、)2()2()2()22(1111)24216，当且仅当abcd时取等号答案：163已知：x，y，zR且xyz2，则2的最大值为()A2B2C4 D5解析：(2)2(12)2(1222()2)()2()2()28(xyz)16.24.答案：C4把一根长为12 m的细绳截成三段，各围成三个正方形问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则xyz12，三个正方形的边长分别为，均为正数，三个正方形面积之和：S222(x2y2z2)(121212)(x2y2z2)(xyz)2122，即x2y2z248.从而S483.当且仅当时取等号，又xyz1
5、2，xyz4时，Smin3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m2. 对应学生用书P331若a，b，cR，且1，则a2b3c的最小值为()A9 B3C. D6解析：柯西不等式得a2b3c(a2b3c)(111)29，a2b3c的最小值为9.答案：A2已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2C3 D4解析：(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，当且仅当1时取等号a1x1a2x2anxn的最大值是1.答案：A3已知a2b2c2d25，则abbccdad的最小值为()A5 B5C25 D25解析：(abbccdda)2
6、(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)25，当且仅当abcd时，等号成立abbccdbd的最小值为5.答案：B4(湖北高考)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则()A. B.C. D.解析：由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，当且仅当时取等号，因此有.答案：C5已知：2x3yz8，则x2y2z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)_.解析：由柯西不等式(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2，即x2y2z2.当且仅当z时等号成立又2x3yz8，解得：x，y，z，所求点为.答案：6设a
7、，b，c为正数，则(abc)的最小值是_解析：(abc)()2()2()22(236)2121.当且仅当k(k为正实数)时，等号成立答案：1217已知a，b，cR且abc6，则的最大值为_解析：由柯西不等式得：()2(111)2(121212)(2a2b12c3)3(264)48.当且仅当，即2a2b12c3时等号成立又abc6，a，b，c时，取得最大值4.答案：48在ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2b2c2)36R2.证明：2R，(a2b2c2)236R2.9求实数x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2取到最小值解：由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2.当且仅当，即x，y时，上式取等号此时有最小值.10已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，求a的最值解：由柯西不等式，有(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2，由条件可得，5a2(3a)2，解得1a2，当且仅当时等号成立，代入b，c，d时，amax2，代入b1，c，d时，amin1.7
