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1、2017-2018学年高中数学第二章推理与证明能力深化提升新人教A版选修2-2第二章 推理与证明能力深化提升类型一合情推理【典例1】(1)在矩形ABCD中,对角线AC与相邻两边所成的角为,则cos2+cos2=1,类比到空间中的一个正确命题是:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线AC1与相邻三个面所成的角为,则有_.(2)(2017宁波高二检测)两点等分单位圆时,有相应正确关系为sin+sin(+)=0;三点等分单位圆时,有相应正确关系为sin+sin+ sin=0,由此可以推知,四点等分单位圆时的相应正确关系为_.【解析】(1)我们将平面中的二维性质,类比推断到空间中的三维性质.由在
2、长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是,则有cos2+cos2=1.我们根据长方形性质可以类比推断出空间性质,因为长方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线AC1与过点A的三个面ABCD,AA1B1B,AA1D1D所成的角分别为,所以cos=,cos=,cos=,所以cos2+cos2+cos2=2.答案:cos2+cos2+cos2=2(2)用两点等分单位圆时,关系为sin+sin(+)=0,两个角的正弦值之和为0,且第一个角为,第二个角与第一个角的差为(+)-=,用三点等分单位圆时,关系为sin+sin+sin=0,此时三个角的正弦值之和为0,且第一个角为,第二个角与第
3、一个角的差和第三个角与第二个角的差相等,即有-=-=.以此类推,可得当四点等分单位圆时,此四个角正弦值之和为0,且第一个角为,第二个角为+=+,第三个角为+=+,第四个角为+=+,即其关系为sin+sin+sin(+)+sin=0.答案:sin+sin+sin(+)+sin=0【方法总结】归纳推理的特点及一般步骤【巩固训练】三角形的面积为S=(a+b+c)r,其中a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为()A.V=abcB.V=ShC.V=(S1+S2+S3+S4) r(S1,S2,S3,S4分别为四面体的四个面的面积,r为四面体内切球的半径)D.V
4、=(ab+bc+ac)h(h为四面体的高)【解析】选C.此题为平面几何与立体几何的类比,类比的知识有面积与体积,边长与面积,圆与球.【补偿训练】(2017大庆高二检测)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出空间下列结论:垂直于同一条直线的两条直线互相平行;垂直于同一个平面的两条直线互相平行;垂直于同一条直线的两个平面互相平行;垂直于同一个平面的两个平面互相平行.则正确的结论是()A.B.C.D.【解析】选C.中两直线也可能相交或异面,错误;中两平面也可能相交,错误,正确.类型二演绎推理【典例2】已知:sin230+sin290+sin2150=,sin25+sin265
5、+sin2125=,通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:_=(*)并给出(*)式的证明.【解析】一般形式:sin2+sin2(+60)+sin2(+120)=.证明:左边=+=-cos2+cos(2+120) +cos(2+240)=-(cos2+cos2cos120-sin2sin120+cos2cos240-sin2sin240)=-=右边,所以原式得证.【方法总结】演绎推理应用的关注点演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.【巩固训练】若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的几个值
6、x1,x2,xn总满足f(x1)+f(x2)+f(xn)f,则称函数f(x)为D上的凸函数,现已知f(x)=sinx在(0,)上是凸函数,则在ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是_.【解析】因为f(x1)+f(x2)+f(xn)f,(大前提)因为f(x)=sinx在(0,)上是凸函数,(小前提)所以f(A)+f(B)+f(C)3f,(结论)即sinA+sinB+sinC3sin=,所以sinA+sinB+sinC的最大值是.答案:类型三综合法与分析法【典例3】(1)已知a,b,c为互不相等的非负数.求证:a2+b2+c2(+).(2)(2016马鞍山高二检测)用分析法证明2cos(
7、-)-=.【证明】(1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac,又因为a,b,c为互不相等的非负数,所以上面三个式子中都不能取“=”,所以a2+b2+c2ab+bc+ac,因为ab+bc2,bc+ac2,ab+ac2,又a,b,c为互不相等的非负数,所以ab+bc+ac(+),所以a2+b2+c2(+).(2)要证原等式成立,只需证:2cos(-)sin-sin(2-)=sin.因为式左边=2cos(-)sin-sin(-)+=2cos(-)sin-sin(-)cos-cos(-)sin=cos(-)sin-sin(-)cos=sin=右边,所以成立,即原等式成立.【方法总结
8、】综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是执果索因的思维方式.(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条件清晰,易于表达,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件.【巩固训练】已知(0,),求证:2sin2.【证明】方法一:(分析法)要证明2sin2成立.只要证明4sincos.因为(0,),所以sin0.只要证明4cos,上
9、式可变形为4+4(1-cos).因为1-cos0,所以+4(1-cos)2=4,当且仅当cos=,即=时取等号.所以4+4(1-cos)成立.所以不等式2sin2成立.方法二:(综合法)因为+4(1-cos)4,1-cos0,当且仅当cos=,即=时取等号,所以4cos.因为(0,),所以sin0.4sincos,所以2sin2.【补偿训练】试分别用分析法和综合法证明:已知a,b,c,dR,求证:ac+bd.【证明】分析法:当ac+bd0时,显然成立.当ac+bd0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b
10、2c2+b2d2,即证2abcdb2c2+a2d2.即证0(bc-ad)2,因为a,b,c,dR,所以上式恒成立,故原不等式成立,综合知,原不等式得证.综合法:因为(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2bcad+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2,所以|ac+bd|ac+bd.类型四反证法【典例4】已知a3+b3=2,求证:a+b2.【证明】方法一:假设a+b2,则a2-b,所以a3(2-b)3=8-12b+6b2-b3,即a3+b38-12b+6b2.因为a3+b3=2,所以8-12
11、b+6b22,化简得b2-2b+10,即(b-1)22,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2).因为a3+b3=2,所以22(a2-ab+b2),即a2-ab+b2a2+b22ab,从而ab1,所以a2+b21+ab2,故(a+b)2=a2+b2+2ab2ab+24,即-2a+b2矛盾,所以假设不成立,故当a3+b3=2时,a+b2.【方法总结】反证法的关注点(1)反证法的思维过程:否定结论推理过程中引出矛盾否定假设肯定结论,即否定推理否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾,从而达到新的“否定”(即肯定原命题).(2)反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题;涉及“
12、都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时,也常用反证法.【巩固训练】已知f(x)=x2+px+q.(1)求证:f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.【证明】(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设原命题不成立,则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2)=2,这与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|1+=1+=1+,f(k
13、+1)=f(k)+k+k+所以f(k+1)+(k+1),即n=k+1时,原式也成立.综合(1),(2)可得:原式成立.【方法总结】在应用数学归纳法证题时应注意以下几点(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1.(2)递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)利用假设是核心:在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明.【巩固训练】用数学归纳法证明:=(n2,nN*).【证明】(1)当n=2时,左边=1-=,右边=,所以左边=右边,即当n=2时等式成立.(2)假设n=k(k2,kN*)时等式成立,即=.那么n=k+1时,利用归纳假设有:=,即n=k+1时等式也成立.综合(1)、(2)知,对任意n2,nN*等式恒成立.- 9 - / 9- 9 - /
