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1、第二章 算法初步1算法概念的诠释同学们也许对算法这个概念很陌生，但其实大家在日常生活中已经接触过很多算法了，广义地说，算法就是做某一件事情的步骤或程序菜谱是做菜肴的“算法”，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的“算法”每个算法都闪耀着人类的智慧，阅读和学习这些东西会给我们带来一种难以用语言表达的满足感和快感在以后的学习和工作中我们会不断从实际应用中了解和领会算法是如何解决各个领域的实际问题，推动人类文明的发展的一、算法的特征1确定性算法中的每条运算规则必须是明确定义的、可行的，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，运行终止应得到问题的解答或指出问题没有解答2有限性一个算法必须保证在执行有限步后结束，
2、至少不能出现无限循环或死循环在此基础上越简洁越快越好越简洁，占用内存越少，对设备的要求越基本；越快，这个意义就不用说了吧比如一个计算对方导弹轨迹的算法，如果等你算出来，那边导弹已经落地了，那还有什么意义？二、算法的思想专业的事交给专业的人去做普通人只要按专业人士给出的步骤一步一步地去完成，这就是算法的思想，即程序思想，你也可以理解为傻瓜化思想另外，算法强调的是通性通法，即给出一个算法，实际上是给出了一种解决一类问题的方法比如你给出一个计算圆的面积的算法，它应该能计算各种半径的圆的面积，而不是只适用于半径为某一具体数的圆三、特别提示1算法中的每一步应该是确定的并且能够有效地执行且得到确定的结果，
3、而不应当模棱两可，如求的近似值却没有要求近似的精确度，则该问题不能求解2现代算法主要是面向计算机的，如果算法中没有输出，程序也能运行 ，但是运行结果无法输出如果想要得到结果，那就要有输出3只要有公式可以利用，利用公式解决问题是最理想、最简便的方法，比如在写解方程x23x40的算法时，用求根公式来做，步骤则较为简洁4求解某一个问题的算法一般不是唯一的，我们通常选择较为简单的算法四、典例分析例1已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积，设计一个算法解决这个问题分析对于已知等边三角形的边长求面积的题目同学们已经很熟悉，回顾其中的解题过程不难得到这个问题的算法步骤但学会清晰条理地表达自己的想法
4、，也是一个基本的要求解算法步骤如下：第一步，输入a的值第二步，计算l的值第三步，计算Sl2的值第四步，输出S的值例2下面给出了一个问题的算法：第一步，输入x.第二步，若x4，则执行第三步，否则执行第四步第三步，输出2x1.第四步，输出x22x3.这个算法解决的问题是什么？分析依据题目给出的算法步骤依次执行，是读懂算法的一个重要而基本的办法解这个算法先是输入一个变量x，当x4时输出2x1，当x4时输出x22x3，不难发现这个算法解决的问题是求分段函数f(x)的函数值.2典型算法举例1解方程(方程组)、不等式的算法例1用自然语言描述求一元二次方程ax2bxc0的根的算法思维切入对于求方程的根，解方
5、程组这样的数值型的问题，我们都有具体的计算方法，只要我们把平时的计算方法严格地按步骤描述出来即可因此我们很容易得到下面的算法解用自然语言来描述算法，第一步，计算b24ac；第二步，如果0，则原方程无实数解，输出“无实数解”；否则(0)x1，x2，输出x1，x2的值点评第二步中包含了一个判断b24ac是否小于零的条件，并根据判断结果进行不同的处理算法是否“健壮”，也是衡量算法优劣的重要指标如果思维不严谨，比如这个算法忘记考虑b24ac小于零的情形，实际运算一旦遇到，则会导致不是出错就是死机，那这个算法就是不“健壮”的例2写出解x24x30的算法思维切入只要把平时的固定解法有条理地写出来，即为解不
6、等式的算法解第一步，求出对应方程的根x11，x23；第二步，确定根的大小x1x2；第三步，写出解集x|1xr，则直线与圆相离，dr则直线与圆相切，dr则相离，如果dr则相切，如果dr则相交点评算法要求分解成简单计算，不要直接计算d.一个比较大的程序，会分成若干模块，一个模块出了问题只需要修改这一个模块，而不需要全盘翻工4累加、累乘问题的算法例5用自然语言描述求解mul123456问题的算法思维切入根据算法的特点，我们学过的加、减、乘、除运算法则都是算法，只要按照具体的规则有步骤地描述过程，便有了该题的算法解第一步，计算12，得2；第二步，将第一步中的运算结果2与3相乘得6；第三步，将第二步中的
7、运算结果6与4相乘得24；第四步，将第三步中的运算结果24与5相乘得120；第五步，将第四步中的运算结果120与6相乘得720.点评如果让人一步一步地做，太枯燥了但这恰好是计算机的优势所以算法好不好，还分让谁来执行，对人来讲是奇笨无比的办法，对计算机却可能是一个好办法思维拓展该算法包含一个重复操作的过程是循环结构，我们可将算法改造得更为简练、科学解第一步，设i1，P1；第二步，如果i6执行第三步，否则执行第五步；第三步，计算Pi并将结果代替P；第四步，将i1代替i，转去执行第二步；第五步，输出P.点评i称为计数变量，每一次循环它的值增加1，由1变到6，P是一个累乘变量，每一次循环得到一个新的结
8、果，然后新的结果代替原值.3算法框图画法全知晓一、画算法框图的基本步骤第一步，设计算法，因为算法的设计是画算法框图的基础，所以画算法框图前，首先写出相应的算法步骤，并分析算法需要用哪种基本逻辑结构(顺序结构、选择结构、循环结构)完成第二步，把算法步骤转化为对应的算法框图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程第三步，将所有步骤的算法框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到整个表示算法的算法框图二、画算法框图的规则1使用标准的框图符号2框图一般按从上到下、从左到右的方向来画3除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号4在图
9、形符号内描述的语言要简练清楚三、典例分析1顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不开的结构若一个算法由若干个依次执行的步骤组成，则在画算法框图时，可直接由顺序结构完成因为在其他的结构中都会涉及到顺序结构，所以关于顺序结构的画法，在此不再单独叙述2选择结构设计算法框图时，若是分段函数或执行时需要先判断才能执行的问题，则需要用到判断框，引入选择结构例1如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着BCDA的方向由点B向点A运动，设点P运动的路程为x(0x12)，APB的面积为y，画出y关于x的关系式的算法框图分析随着点P的位置不同，APB的面积与路程x有不同的对应关系，所以需
10、要先判断点P的位置，这就需要用到选择结构，先根据题意写出算法，再根据算法画出算法框图即第一步，按照题意，y与x的关系满足分段函数：y第二步，用合适的含选择结构的算法框图表示该分段函数解算法框图如图所示点评该题中的分段函数是分三段的函数，需引入两个判断框至于判断框的内容是没有顺序的，但与下一图形的内容或操作必须相互对应同时，在画算法框图时，要特别注意图形符号的规范性3循环结构如果问题中进行了重复的运算，且有相同的规律，就可根据需要引入相关变量，利用这些规律组成一个循环体，用循环结构来解决例2 某机械厂为增加产值进行了技术革新据统计2009年的生产总值为500万元，技术革新后预计每年的生产总值比上
11、一年增加5%，问最早要到哪一年生产总值才能超过600万元，试用算法框图表示分析用变量n，a分别表示所经过的年数和生产总值的数量，注意变量的初始值以及递加的值是多少由题意知第n年后的生产总值为a500(10.05)n，此时为(2009n)年由于题中进行了重复的运算，故应引入循环结构解算法框图如图所示4例说选择结构选择结构是三种基本逻辑结构之一，可以解决一些含有条件判断的算法问题，如分段函数求值问题、比较大小问题、分类讨论问题和一些实际问题等下面就其应用略举两例，供同学们学习时参考一、分段函数求值问题例1 已知函数y请设计算法框图，要求输入自变量x，输出函数值y.分析输入自变量x的值，首先判断x与
12、0的大小关系，再代入相应的表达式求函数值解算法框图如图点评求分段函数的函数值，需先判断再执行步骤，需要引入选择结构在使用选择结构时，要注意判断条件的设定不重不漏，确保各种可能的判断值有正确、唯一的流向二、实际应用问题例2 邮政电子汇款单笔最高限额为1万元，每笔汇款的资费标准为汇款金额的1%，最低收费为2元，最高收费为50元试编写一算法框图求出当汇款x (02 011.解两种方法：算法框图如图1和如图2所示点评涉及求多项的和与积的算法框图要用到循环结构和选择结构画图时要注意循环变量的初始值、终值以及循环变量的增量在程序中的作用本题代表了一类相邻两个数的差为常数的求和问题的解法，在设计算法框图时要注意前后两个加数相差2，此时计数变量不是ii1，而是ii2，要根据题意灵
