《高中数学第二章平面向量2.4第1课时向量的数量积学案苏教版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.4第1课时向量的数量积学案苏教版必修4（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时向量的数量积学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直知识点一平面向量的数量积一个物体在力F的作用下产生位移s，如图思考1如何计算这个力所做的功？思考2力做功的大小与哪些量有关？梳理平面向量的数量积(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的_(或_)，记作ab，即ab|a|b|cos .(2)我们规定：零向量与任一向量的数量积为_特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小
2、与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定知识点二两个向量的夹角思考把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？梳理两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，如图所示作a，b，则AOB，称为向量a与b的夹角(2)范围：_.(3)当_时，a与b同向；当_时，a与b反向(4)当_时，则称向量a与b垂直，记作ab.知识点三平面向量数量积的几何意义思考1什么叫做向量b在向量a上的投影？什么叫做向量a在向量b上的投影？思考2向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？梳理(1)条件：向量a与b的夹角为.(2)投影：向量b在a方向上的投影|b|cos
3、 向量a在b方向上的投影|a|cos (3)ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与_的乘积知识点四平面向量数量积的性质及运算律思考1向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？梳理(1)数量积性质当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；当ab时，ab0；aa|a|2或|a|.(2)数量积的运算律abba；(a)ba(b)(ab)ab；(ab)cacbc.类型一求两向量的数量积例1已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积反思
4、与感悟求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角，0，180；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连结，而不能用“”连结，也不能省去跟踪训练1已知菱形ABCD的边长为a，ABC60 ，则_.类型二求向量的模例2已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.引申探究若本例中条件不变，求|2ab|，|a2b|.反思与感悟此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2，即|a|，勿忘记开方跟踪训练2已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值类型三求向量的夹角例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60，
5、求向量a2mn与b2n3m的夹角反思与感悟求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是0，跟踪训练3已知|a|2|b|2，且ab1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？1已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的投影为_2设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab_.3若ab，c与a及与b的夹角均为60，|a|1，|b|2，|c|3，则(a2bc)2_.4在ABC中，|13，|5，|12，则的值是_5已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).1两向量a与b的数量积是一
6、个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0，090时)，也可以为负(当a0，b0，90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆3ab|a|b|cos 中，|b|cos 和|a|cos 分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分4求投影有两种方法(1)b在a方向上的投影为|b|cos (为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos .(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.5两非零向量a，b，abab0，求向量模
7、时要灵活运用公式|a|.答案精析问题导学知识点一思考1W|F|s|cos .思考2与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关梳理(1)数量积内积(2)0知识点二思考角梳理(2)0180(3)0180(4)90知识点三思考1如图所示，a，b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1|b|cos .|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影思考2由投影的定义知，二者不一定相同梳理(3)b在a的方向上的投影|b|cos 知识点四思考1向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量思考2由两个非零向量的夹角决定当090时，非零向量的数量积为正数当90时，
8、非零向量的数量积为零当90180时，非零向量的数量积为负数题型探究例1解(1)ab，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos 04520；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos 18045(1)20.(2)当ab时，90，ab|a|b|cos 900.(3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos 304510.跟踪训练1a2例2解ab|a|b|cos 55.|ab|5.|ab|5.引申探究解ab|a|b|cos 55，|2ab|5.|a2b|5.跟踪训练2解|3a2b|29|a|212ab4|b|292512ab42532512ab，|3a2b|5，32512ab25，ab25.|3ab|2(3ab)29a26abb292562525400，故|3ab|20.例3解|n|m|1且m与n夹角是60，mn|m|n|cos 6011.|a|2mn|，|b|2n3m|，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos .又0，故a与b的夹角为.跟踪训练3解(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1，ab|a|b|cos 1，cos ，又0，.(2)(a2b)bab2b2123.(3)ab与a3b互相垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，.当堂训练122.13.114.255(1)(2)(3)9
