《高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行教学案北师大选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行教学案北师大选修2-1（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4 用向量讨论垂直与平行 已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面1，2的法向量分别为n1，n2.问题1：若直线l1l2，直线l1垂直于平面1，则它们的方向向量和法向量有什么关系？提示：u1u2n1.问题2：若l1l2，l12呢？提示：u1u2，u1n2.问题3：若12，则n1，n2有什么关系？提示：n1n2.1空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面1，2的法向量分别为n1，n2，则线线平行lmakb(kR)线面平行l1an1an10 面面平行12n1n2n1kn2(kR)线线垂直lmab0线面垂直l1an1akn1(kR)面面垂直12n1n2 n1n
2、202.三垂线定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直3面面垂直的判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系这是向量法证明垂直、平行关系的关键第一课时空间向量与平行关系 由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系例1(1)设a，b分别是两条不同直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：a(2,3，1)，b(6，9,3)；a(5,0,2)，b(0,4,0)；a(2,1,4)，b(
3、6,3,3)(2)设n1，n2分别是两个不同平面1，2的法向量，根据下列条件判断1，2的位置关系：n1(1，1,2)，n2(3,2，)；n1(0,3,0)，n2(0，5,0)；n1(2，3,4)，n2(4，2,1)(3)设n是平面的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断和l的位置关系：n(2,2，1)，a(3,4,2)；n(0,2，3)，a(0，8,12)；n(4,1,5)，a(2，1,0)思路点拨本题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系精解详析(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，ab.ab，l1l2.a(5,0,2)，b(0,4,0)，a
4、b0.ab.l1l2.a(2,1,4)，b(6,3,3)，a与b不共线，也不垂直l1与l2的位置关系是相交或异面(不垂直)(2)n1(1，1,2)，n2，n1n23210.n1n2，12.n1(0,3,0)，n2(0，5,0)，n1n2，n1n2.12.n1(2，3,4)，n2(4，2,1)，n1与n2既不共线，也不垂直平面1和2相交(不垂直)(3)n(2,2，1)，a(3,4,2)，na6820.na.直线l和平面的位置关系是l或l.n(0,2，3)，a(0，8,12)，na.na.l.n(4,1,5)，a(2，1,0)，n和a既不共线，也不垂直l与斜交一点通用向量法来判定线面位置关系时，只
5、需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换1设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()AlBlCl Dl或l解析：当ab0时，l或l.答案：D2若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l不在平面内，则能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，要使l，则an，an0.只有D中an0.答案
6、：D3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，H，G分别是AA1，AB，CC1，C1D1的中点，求证：EFHG.证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图设正方体的棱长为2，则E，F，H，G的坐标分别为E(2,0,1)，F(2,1,0)，H(0,2,1)，G(0,1，2)(0,1，1)，(0,1，1).又GEF，EFGH.用空间向量证明线面平行问题例2如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBC，点O，D分别是AC，PC的中点，且OAOP，OP平面ABC.求证：OD平面PAB.思路点拨思路：一证明与平面PAB的法向量垂直思路二：证明OD与
7、面PAB内某一直线平行精解详析法一：因为ABBC，O为AC的中点，所以OBAC，OAOBOC，如图，建立空间直角坐标系，设OAa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a，0,0)，P(0,0，a)，D，所以.设平面PAB的法向量为n(x，y，z)则由于(a,0，a)，(a，a,0)，所以令z1，得xy1，所以n(1,1,1)，所以n0，所以n，因为OD不在平面PAB内，所以OD平面PAB.法二：因为O，D分别是AC，PC的中点，所以，所以，即ODAP，OD平面PAB，PA面PAB，所以OD平面PAB.一点通用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内
8、的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面但必须说明直线在平面外4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12.点M在棱BB1上，且BM2MB1，点S在DD1上，且SD12SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点求证：MN平面RSD.证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.，.MRS.MNRS.又RS平面RSD，MN平面RSD，MN平面RSD.法二：设a，b，c，则cab，bac，又RMN，MNRS.又RS平面RSD，MN平面RSD，MN平面RSD.5如图，在正方体ABCDA1B1
9、C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.证明：法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是，(1,0,1)，(1,1,0)，设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)，则n0且n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n.MN 平面A1BD.法二：C1M()，.又DA1平面A1BD，MN平面A1BD.用空间向量证明面面平行例3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别是棱A1D
10、1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN平面EFBD.思路点拨本题可通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行也可以先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行精解详析法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，连AG，QK，则G(3,1,4)，K(1,3,4)，Q(2,2,0)(2,2,0)，(2,2,0)，(1,1,4)，(1,1,4)可见，MNEF，AGQK.又MN平面EFBD，AG
11、平面EFBD.MN平面EFBD，AG平面EFBD.又MNAGG，平面AMN平面EFBD.法二：由法一得(2,0,4)，(2,2,0)，(0,2,4)，(2,2,0)设平面AMN的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即即令x11，则n1.设平面BDEF的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即即令x21，则n2(1，1，)n1n2.平面AMN平面BDEF.一点通用向量法证明两面互相平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行6.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段B
12、B1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点求证：平面EGF平面ABD.证明：如图所示，由条件知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系由条件知B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E (0,0,3)，F(0,1,4)，设BAa，则A(a,0,0)，G.所以(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)，(0,1,1)法一：0，0440，所以B1DBA，B1DBD.因BABDB，因此B1D平面ABD.又0220，0220.所以B1DEG，B1DEF，又EGEFE，所以B1D平面E
13、FG，可知平面EGF平面ABD.法二：设平面EGF的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令y1，则n1(0,1，1)设平面ABD的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即令y1，则n2(0,1，1)所以n1n2.所以平面EGF平面ABD.7已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.证明：建立空间直角坐标系如图，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)(1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,
