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1、解直角三角形应用举例 例1如图1 某海防哨所O发现在它的北偏西30 距离500m的A处有一艘船 该船向正东方向航行 经过3分到达哨所东北方向的B处 求这船的航速是每时多少km 取1 7 图1 解 设AB与正北方向线交于点C 则OC AB 在Rt AOC中 OA AOC 500m 30 AC OAsin AOC 500sin30 500 250 m OC OAcos AOC 500cos30 500 250 m AB AC BC 250 250 250 1 675 3 60 13500 m 答 这船的航速是每时13 5km 250 1 1 7 675 练一练如图2 建筑物B在建筑物A的正北方向
2、在O地测得 在O地的东南方向60m处 在O地的北偏东30 方向 求O B的距离和A B的距离 图2 C 答 O B的距离为m A B的距离为m 引例如图3 在高为100米的山顶A测得地面C处的俯角为45 地面D处的俯角为30 B C D三点在一条直线上 那么 图3 ACB 45 30 在Rt ABC中 BC 米 在Rt ABD中 BD 米 CD BC 米 100 BD 100 NEXT 仰角 俯角的定义 仰角和俯角 指视线和水平线所成的角 仰角 视线在水平线上方时 俯角 视线在水平线下方时 BACK 例2如图4 河对岸有水塔AB 在C处测得塔顶A的仰角为30 向塔前进12m到达D 在D处测得A
3、的仰角为45 求塔高 解 在Rt ADB中 BD ABcot ADB ABcot45 在Rt ACB中 BC ABcot ACB ABcot30 BC BD CD CD 12m 即ABcot30 ABcot45 12 答 塔高为 m 想一想 还可以怎么解 图4 评注 因CD不是可解直角三角形的一边 这时通常可考虑用线段的和或差这一间接方法 例2如图4 河对岸有水塔AB 在C处测得塔顶A的仰角为30 向塔前进12m到达D 在D处测得A的仰角为45 求塔高 小结 本例告诉我们在应用解直角三角形解决测量问题时 一般要先画出测量示意图 然后借助示意图 利用直角三角形中角 边之间的数量关系求出所要求的距
4、离或角度 图4 例3如图6 公路MN和公路PQ在点P处交汇 且 QPN 30 点A处有一所中学 AP 160米 假设拖拉机行驶时 周围100米内会受到噪声的影响 那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时 学校是否会受到噪声影响 说明理由 如果受影响 已知拖拉机速度为18千米 时 那么学校受到影响的时间为多少秒 B 解 作AB MN于B 在Rt ABP中 ABP 90 APB 30 AP 160 AB AP 80 点A到直线MN的距离小于100米 这所中学会受到噪声的影响 假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处 学校开始受到噪声影响 那么AC 100 米 由勾股定理BC 60 米 同理拖拉机
5、行驶到点D处 学校开始脱离噪声影响 那么BD 60米 CD 120 米 0 12千米 学校受噪声影响的时间t 1 解直角三角形 就是在直角三角形中 知道除直角外的其他五个元素中的两个 其中至少有一个是边 求出其它元素的过程 2 与之相关的应用题有 求山高或建筑物的高 测量河的宽度或物体的长度 航行航海问题等 解决这类问题的关键就是把实际问题转化为数学问题 结合示意图 运用解直角三角形的知识 3 当遇到30 45 60 等特殊角时 常常添加合适的辅助线分割出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题 4 应用解直角三角形知识解应用题时 可按以下思维过程进行 寻找直角三角形 若找不到 可构造 找到的直角三角形是否可解 若不可直接求解 利用题中的数量关系 设x求解 课堂点睛
