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1、2020届江苏省如皋中学高三创新班数学试卷202006一、填空题:1. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是 .2. 已知分别双曲线的左右焦点,是抛物线与双曲线的一个交点,若 ,则抛物线的准线方程为 .3. 已知实数满足,当取最大值时,_4. 已知等差数列满足:则的最大值为_5. 已知函数只有一个极值点,则实数的取值范围为_6. 直线与定圆相切,则定圆方程为_7. 已知双曲线左焦点为F,直线经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直,直线与双曲线的左支交于不同两点AB,若,则该双曲线的离心率为_8.
2、 用表示函数在区间上的最大值,若正数满足,则的取值范围为_9. 四棱锥P-ABCD中,则四棱锥P-ABCD的体积为_10. .已知向量满足,若存在不同的实数,使得且,则的取值范围是_11. 已知P是椭圆上一动点,则的最大值为_12. 已知,则向量的最小值为_13. 三角形ABC面积为S,若,则的最大值是_14.已知数列为首项为1正项等比数列,数列为公差为1等差数列,数列满足 ,若,则数列前50项的和为_二、解答题:15. 如图,在ABC中,为所对的边,CDAB于D,且(1)求证:;(2)若,求的值16. 如图,在正三棱柱中,D,E,F分别为线段,的中点.(1)证明:平面;(2)证明:平面.17
3、动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为4.(1)若动圆圆心的轨迹为曲线,求曲线的方程; (2)在曲线的对称轴上是否存在点,使过点的直线与曲线的交点满足为定值?若存在,求出点的坐标及定值;若不存在,请说明理由.18.某景区平面图如图1所示,为边界上的点已知边界是一段抛物线,其余边界均为线段,且,抛物线顶点到的距离以所在直线为轴,所在直线为轴,建立平面直角坐标系(1)求边界所在抛物线的解析式;(2)如图2,该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地,使得点在边界上,点在边界上,试确定点的位置,使得矩形的周长最大,并求出最大周长19. 设数列的前n项和为,(1)求证:数列是等比数列;(2)若,是否存在q的某
4、些取值,使数列中某一项能表示为另外三项之和?若能求出q的全部取值集合,若不能说明理由(3)若,是否存在,使数列中,某一项可以表示为另外三项之和?若存在指出q的一个取值,若不存在,说明理由20. 已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线.(1)求的解析式;(2)若函数有两个极值点,且,求的取值范围.2020届江苏省如皋中学高三创新班数学试卷202006一、填空题:1. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是 .62. 已知分别双曲线的左右焦点,是抛物线与双曲线的一个交点,若 ,则抛物线的准线
5、方程为 .3. 已知实数满足,当取最大值时,_14. 已知等差数列满足:则的最大值为_55. 已知函数只有一个极值点,则实数的取值范围为_6. 直线与定圆相切,则定圆方程为_7. 已知双曲线左焦点为F,直线经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直,直线与双曲线的左支交于不同两点AB,若,则该双曲线的离心率为_8. 用表示函数在区间上的最大值,若正数满足,则的取值范围为_9. 四棱锥P-ABCD中,则四棱锥P-ABCD的体积为_310. .已知向量满足,若存在不同的实数,使得且,则的取值范围是_11. 已知P是椭圆上一动点,则的最大值为_12. 已知,则向量的最小值为_13. 三角形ABC面积为S,若
6、,则的最大值是_14.已知数列为首项为1正项等比数列,数列为公差为1等差数列,数列满足 ,若,则数列前50项的和为_1275二、解答题:15. 如图,在ABC中,为所对的边,CDAB于D,且(1)求证:;(2)若,求的值【详解】(1)证明:因, 所以, 由正弦定理,得, 所以 (2)解:由(1)得, 所以, 化简,得 又,所以,所以, 所以16. 如图,在正三棱柱中,D,E,F分别为线段,的中点.(1)证明:平面;(2)证明:平面.【详解】(1)如图,取的中点G,连结,.因为F为的中点,所以.在三棱柱中,且E为的中点,所以.所以四边形是平行四边形.所以.因为平面,平面,所以平面.(2)因为在正
7、三棱柱中,平面,平面,所以.因为D为的中点,所以.因为,平面,平面,所以平面.因为平面,所以.根据题意,可得,所以.从而,即.因为,平面,平面,所以平面.17动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为4.(1)若动圆圆心的轨迹为曲线,求曲线的方程; (2)在曲线的对称轴上是否存在点,使过点的直线与曲线的交点满足为定值?若存在,求出点的坐标及定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设,由题意知:.当点不在轴上时,过做,交于点,则为的中点,.又,化简得;当点在轴上时,易知点与点重合.也满足,曲线的方程为.(2)假设存在,满足题意.设.由题意知直线的斜率必不为0,设直线的方程为.由得.,.,.,.,当时,
8、上式,与无关,为定值. 存在点,使过点的直线与曲线的交点满足为定值.18.某景区平面图如图1所示,为边界上的点已知边界是一段抛物线,其余边界均为线段,且,抛物线顶点到的距离以所在直线为轴,所在直线为轴,建立平面直角坐标系(1)求边界所在抛物线的解析式;(2)如图2,该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地,使得点在边界上,点在边界上,试确定点的位置,使得矩形的周长最大,并求出最大周长【详解】(1)根据对称性可知,设边界所在抛物线的解析式为,抛物线的图象经过,两点,解得,边界所在抛物线的解析式为;(2)设点坐标为,四边形是矩形,矩形的周长为:,开口向下,当时,矩形的周长有最大值,最大值为22,此时
9、点坐标为,即点与点重合19. 设数列的前n项和为,(1)求证:数列是等比数列;(2)若,是否存在q的某些取值,使数列中某一项能表示为另外三项之和?若能求出q的全部取值集合,若不能说明理由(3)若,是否存在,使数列中,某一项可以表示为另外三项之和?若存在指出q的一个取值,若不存在,说明理由【详解】(1)n=1时,时,(n=1也符合),即数列是等比数列(2)若则可设,两边同除以得:因为左边能被q整除,右边不能被q整除,因此满足条件的q不存在(3)若则可设, 不成立20. 已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线.(1)求的解析式;(2)若函数有两个极值点,且,求的取值范围.【解析】(1)根据题意,函数与,可知,两图象在点处有相同的切线,所以两个函数切线的斜率相等,即,化简得,将代入两个函数可得,综合上述两式可解得,所以.(2)函数,定义域为,因为,为函数的两个极值点,所以,是方程的两个不等实根,由根与系数的关系知,又已知,所以,将式代入得,令,令,解得,当时,在单调递减;当时,在单调递增;所以,即的取值范围是.