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1、2020届江苏省如皋中学高三创新班数学试卷202006一、填空题：1. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 .2. 已知分别双曲线的左右焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若 ，则抛物线的准线方程为 .3. 已知实数满足，当取最大值时，_4. 已知等差数列满足：则的最大值为_5. 已知函数只有一个极值点，则实数的取值范围为_6. 直线与定圆相切，则定圆方程为_7. 已知双曲线左焦点为F，直线经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同两点AB，若，则该双曲线的离心率为_8.
2、 用表示函数在区间上的最大值，若正数满足，则的取值范围为_9. 四棱锥P-ABCD中，则四棱锥P-ABCD的体积为_10. .已知向量满足，若存在不同的实数，使得且，则的取值范围是_11. 已知P是椭圆上一动点，则的最大值为_12. 已知，则向量的最小值为_13. 三角形ABC面积为S，若，则的最大值是_14.已知数列为首项为1正项等比数列，数列为公差为1等差数列，数列满足 ，若，则数列前50项的和为_二、解答题：15. 如图，在ABC中，为所对的边，CDAB于D，且（1）求证：；（2）若，求的值16. 如图，在正三棱柱中，D，E，F分别为线段，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面.17
3、动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为4.（1）若动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程； （2）在曲线的对称轴上是否存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.18.某景区平面图如图1所示，为边界上的点已知边界是一段抛物线，其余边界均为线段，且，抛物线顶点到的距离以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系（1）求边界所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地，使得点在边界上，点在边界上，试确定点的位置，使得矩形的周长最大，并求出最大周长19. 设数列的前n项和为，（1）求证：数列是等比数列；（2）若，是否存在q的某
4、些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由20. 已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线.（1）求的解析式；（2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围.2020届江苏省如皋中学高三创新班数学试卷202006一、填空题：1. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 .62. 已知分别双曲线的左右焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若 ，则抛物线的准线
5、方程为 .3. 已知实数满足，当取最大值时，_14. 已知等差数列满足：则的最大值为_55. 已知函数只有一个极值点，则实数的取值范围为_6. 直线与定圆相切，则定圆方程为_7. 已知双曲线左焦点为F，直线经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同两点AB，若，则该双曲线的离心率为_8. 用表示函数在区间上的最大值，若正数满足，则的取值范围为_9. 四棱锥P-ABCD中，则四棱锥P-ABCD的体积为_310. .已知向量满足，若存在不同的实数，使得且，则的取值范围是_11. 已知P是椭圆上一动点，则的最大值为_12. 已知，则向量的最小值为_13. 三角形ABC面积为S，若
6、，则的最大值是_14.已知数列为首项为1正项等比数列，数列为公差为1等差数列，数列满足 ，若，则数列前50项的和为_1275二、解答题：15. 如图，在ABC中，为所对的边，CDAB于D，且（1）求证：；（2）若，求的值【详解】（1）证明：因， 所以， 由正弦定理，得， 所以 （2）解：由（1）得， 所以， 化简，得 又，所以，所以， 所以16. 如图，在正三棱柱中，D，E，F分别为线段，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面.【详解】（1）如图，取的中点G，连结，.因为F为的中点，所以.在三棱柱中，且E为的中点，所以.所以四边形是平行四边形.所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为在正
7、三棱柱中，平面，平面，所以.因为D为的中点，所以.因为，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.根据题意，可得，所以.从而，即.因为，平面，平面，所以平面.17动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为4.（1）若动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程； （2）在曲线的对称轴上是否存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设，由题意知：.当点不在轴上时，过做，交于点，则为的中点，.又，化简得；当点在轴上时，易知点与点重合.也满足，曲线的方程为.（2）假设存在，满足题意.设.由题意知直线的斜率必不为0，设直线的方程为.由得.，.，.，.，当时，
8、上式，与无关，为定值. 存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定值.18.某景区平面图如图1所示，为边界上的点已知边界是一段抛物线，其余边界均为线段，且，抛物线顶点到的距离以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系（1）求边界所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地，使得点在边界上，点在边界上，试确定点的位置，使得矩形的周长最大，并求出最大周长【详解】（1）根据对称性可知，设边界所在抛物线的解析式为，抛物线的图象经过，两点，解得，边界所在抛物线的解析式为；（2）设点坐标为，四边形是矩形，矩形的周长为：，开口向下，当时，矩形的周长有最大值，最大值为22，此时
9、点坐标为，即点与点重合19. 设数列的前n项和为，（1）求证：数列是等比数列；（2）若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由【详解】（1）n=1时，时，（n=1也符合），即数列是等比数列（2）若则可设，两边同除以得：因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在（3）若则可设， 不成立20. 已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线.（1）求的解析式；（2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围.【解析】（1）根据题意，函数与，可知，两图象在点处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等，即，化简得，将代入两个函数可得，综合上述两式可解得，所以.（2）函数，定义域为，因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，又已知，所以，将式代入得，令，令，解得，当时，在单调递减；当时，在单调递增；所以，即的取值范围是.
