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1、广深珠三校2020届高三数学上学期第一次联考试题 理本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求1已知集合Ax,B,则AB.A. x0x2 B. x0x2 C. x2x3 D. x2x32若复数的共轭复数满足,则.A.B.C. D.3下列有关命题的说法错误的是.A. 若“”为假命题,则、均为假命题; B. 若是两个不同平面,,,则 ;C. “”的必要不充分条件是“”;D. 若命题p:,则命题:;4已知某离散型随机变量X的分布列为X0123P 则X
2、的数学期望.A B1C D25已知向量、均为非零向量,则、的夹角为.ABCD6若,则的值为.A. B. C. D. 7若直线截得圆的弦长为2,则的最小值为.A. 4B. 12C. 16D. 68设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=.A5B6C7D89已知定义在R上的偶函数对任意 都有,当取最小值时,的值为.A.1B.C.D.10在如图直二面角ABDC中,ABD、CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形,取AD的中点E,将ABE 沿BE翻折到A1BE,在ABE的翻折过程中,下列不可能成立的是.ABC与平面A1BE内某直线平行 BCD平面A1BECB
3、C与平面A1BE内某直线垂直 DBCA1B11定义为个正数的“均倒数”,若已知正整数数列 的前项的“均倒数”为,又,则.A. B. C. D. 12已知函数在上有两个零点,则的取值范围是.A. B. C. D. 第II卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分第13-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22-23题为选考题,考生根据要求作答二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13设满足约束条件,则的最大值为 ;14若的展开式中各项系数之和为32,则展开式中的系数为 ;15已知点P在双曲线上,轴(其中为双曲线的右焦点),点到该双曲线的两条渐近线的距离之比为,则该双曲线
4、的离心率为 ;16已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上, BAC=120。,若三棱锥的体积为,则球的表面积为 ;三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)如图,在中,角所对的边分别为,;(1)证明:为等腰三角形;(2)若为边上的点,且ADB =2ACD,求的值18(本小题满分12分)如图,四棱锥的底面为直角梯形,且为等边三角形,平面平面;点分别为的中点(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值19. (本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,且经过点(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,试问在轴上是否存在定点,使得直线与直线恰好关于轴
5、对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由20(本小题满分12分)已知函数(1)求曲线在处的切线方程;(2)函数在区间上有零点,求的值;(3)若不等式对任意正实数恒成立,求正整数的取值集合21. (本小题满分12分)某景区的各景点从2020年取消门票实行免费开放后,旅游的人数不断地增加,不仅带动了该市淡季的旅游,而且优化了旅游产业的结构,促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变下表是从2020年至2020年,该景点的旅游人数(万人)与年份的数据:第年12345678910旅游人数(万人)300283321345372435486527622800该景点为了预测2021
6、年的旅游人数,建立了与的两个回归模型: 模型:由最小二乘法公式求得与的线性回归方程y=50.8x+169.7;模型:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线的附近(1)根据表中数据,求模型的回归方程 y=aebx(精确到个位,精确到001)(2)根据下列表中的数据,比较两种模型的相关指数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测2021年该景区的旅游人数(单位:万人,精确到个位)回归方程i=110yi-yi23040714607参考公式、参考数据及说明:对于一组数据,其回归直线w=a+v的斜率和截距的最小二乘法估计分别为=i=1nwi-wvi-vi=1nvi-v2, a=w-v刻画回归效果
7、的相关指数R2=1-i=1nyi-yi2i=1nyi-y2参考数据:,55449 605834195 900表中请考生从第(22)、(23)两题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一个题目计分22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点的轨迹的极坐标方程;(2)已知直线:与曲线交于两点,若,求的值.23选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若,且对任意,恒成立,求的最小值 广深珠三校2020届高三第一次联考理科数学参考
8、答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求题号123456789101112答案BCCBBADDADCD12、已知函数(为自然对数的底数)在上有两个零点,则的范围是( )A. B. C. D. 【详解】由得,当时,方程不成立,即,则, 设(且),则,且,由得,当时,函数为增函数,当且时,函数为减函数,则当时函数取得极小值,极小值为,当时,且单调递减,作出函数的图象如图:故:要使有两个不同的根,则即可,即实数的取值范围是.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13 19 ; 14 15 ; 15; 16;三、解答题:解答应写出文字
9、说明,证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)如图,在中,角所对的边分别为,;(1)证明:为等腰三角形;(2)若为边上的点,且,求的值【详解】(1),由正弦定理得: .2分由余弦定理得:; .4分化简得:,所以即, .5分故为等腰三角形 .6分(2)如图, 由已知得, , .8分又, .10分即,得,由(1)可知,得 .12分18(本小题满分12分)如图,四棱锥的底面为直角梯形,且为等边三角形,平面平面;点分别为的中点(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值【详解】(1)设的中点为,连接,为的中点,所以为的中位线,则可得,且; .2分在梯形中,且,所以四边形是平行四边形, .4分,
10、又平面,平面,平面 .6分法二:设为的中点,连接,为的中点,所以是的中位线,所以,又平面,平面,平面, .2分又在梯形中,且,所以四边形是平行四边形,又平面,平面,平面, .4分又,所以平面平面,又平面,平面 .6分(2)设的中点为,又因平面平面,交线为,平面,平面,又由,即有两两垂直,如图,以点为原点,为轴,为轴,为轴建立坐标系 .7分已知点, .8分设平面的法向量为:则有,可得平面的一个法向量为, .10分可得:, .11分所以直线与平面所成角的正弦值为 .12分19. (本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,且经过点(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,试问在轴上是否存在定点,使得直线与直线恰好关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由【详解】()由题意可得,又a2b2c2, .2分解得a24,b21,所以,椭圆的方程为 .4分()存在x轴上在定点Q,使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称,设直线l的方程为x+my0,与椭圆联立可得设